7 解ける具体例
ここまでハミルトニアン形式の定式化について述べてきた． 残る課題はハミルトニアンを対角化することであるが，解析計算は一般に困難である． ここでは，具体的に解ける例として， 強結合極限，弱結合極限，および1つのプラケット模型を紹介する．
7.1 強結合極限
強結合極限 \(K\to0\) では，磁場項を落すことができ，ハミルトニアンは， \[ H = \frac{1}{2}\sum_{e\in {\mathcal{E}}}E^2(e) \tag{7.1}\]
となる． この場合は，表現のネットワークの基底がハミルトニアンの固有状態となる． この状態を \(\ket{\bm{a};\symbf{\mu}}\) と書くと，
\[ H \ket{\bm{a};\symbf{\mu}} = E(\bm{a})\ket{\bm{a};\symbf{\mu}} \]
で，エネルギーは
\[ E(\bm{a})=\frac{1}{2}\sum_{e\in {\mathcal{E}}}C_2(a_e) \]
となる． 2次の Casimir 不変量 \(C_2(a_e)\geq 0\) であるから，すべての辺上 \(C_2(a_e)=0\) になるのが基底状態であり，その波動関数は \(\ket{0}\coloneqq \ket{\bm{0};\bm{1}}\) で表される． ここで，\(\bm{0}\) はすべての辺が自明表現であることを表し， \(\bm{1}\) は各頂点に対応する Clebsch–Gordan 多重度ラベルが自明なものを取っていることを意味する．
7.1.1 \((1+1)\)次元系(物質場なし)
\((1+1)\) 次元系では，空間的な面が作れないため，空間的な Wilson ループが存在しない．したがって，ハミルトニアン (7.1) がそのまま \((1+1)\) 次元系のハミルトニアンとなる． ゲージ不変性により，辺上の表現がすべて等しい状態が基底となる． 周期境界条件を課した場合，状態は一つのラベルで表現でき， これを\(\ket*{a}\)と書く． 辺の数を \(L=|{\mathcal{E}}|\) とすると， ハミルトニアンの固有値は，\(C_2(a)L/2\) となる．
7.2 弱結合極限
弱結合極限では，電場項を省略してハミルトニアンは，
\[ H = - \frac{K}{2}\sum_{p\in \mathcal{P}}( \tr U (p)+\tr U^\dag (p)) \tag{7.2}\]
となる． このハミルトニアンの基底状態は，\(\tr U(p)+\tr U^\dag(p)\) を最大化する状態である． これはストリングネット凝縮状態 (Levin and Wen 2005) によって記述できることが知られている． そのために真空線を
\[= \frac{1}{\mathcal{D}}\sum_{a}d_a\] 
\[ \tag{7.3}\]
で定義する． ここで，\(\mathcal{D}=\sqrt{\sum_{a}d_a^2}\) は全量子次元である． この真空線を用いて， \[ B(p)\coloneqq \sum_a\frac{d_a}{\mathcal{D}^2}\tr U_a(p) \] を定義する．
この \(B(p)\) は，\(B(p)B(p)=B(p)\) および，
\[ \tr U_a(p) B(p)= d_a B(p) \tag{7.4}\]
という性質を持つ．
式 (4.7) を \(\ket{g=1}\)に作用させると，\(\tr D_a(g=1)=d_a\) より，
\[ d_ad_b=\sum_{c} N_{ab}^c d_c \tag{7.5}\]
が成立する．また，
\[ \tr U_a(p) B(p)=\sum_{b}\frac{d_b}{\mathcal{D}^2} \tr U_a(p)\tr U_b(p) =\sum_{b,c}\frac{d_b}{\mathcal{D}^2}N_{ab}^c \tr U_c(p) =d_a\sum_{c}\frac{d_c}{\mathcal{D}^2} \tr U_c(p)=d_a B(p) \]
が成り立つ． 式 (7.5) を用いると，
\[ \tr U_a(p) B(p) =d_a\sum_{c}\frac{d_c}{\mathcal{D}^2} \tr U_c(p)=d_a B(p) \]
が示せる． この関係式から \[ \tr B(p) B(p) =\sum_{a}\frac{d_a}{\mathcal{D}^2}\tr U_a(p) B(p) =\sum_{a}\frac{d^2_a}{\mathcal{D}^2} B(p) =B(p) \]
が従う．
ストリング凝縮状態として
\[ \ket{\Phi} = \prod_p B(p)\ket{0} \]
を定義する． ここで，\(\ket{0}\) は強結合極限での真空を表す． 式 (7.4) より，\(\tr U_a(p)\ket{\Phi}=d_{a}\ket{\Phi}\) が成立するため，この状態は，ハミルトニアン (7.2) の値を最小化する． したがってストリング凝縮状態は，基底状態となる．
7.3 1つのプラケット模型
最後に，1つのプラケットのみを含む場合（\(\mathcal{P}=\{p\}\)）の \(\mathrm{SU}(2)_k\) ゲージ理論を考える:
この場合，辺は4本 (\(\mathcal{E}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\))，頂点は4点 (\(\mathcal{V}=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)) である． ハミルトニアンは， \[ H = \frac{1}{2}\sum_{e\in{\mathcal{E}}}E^2(e) - K\tr U(p) \] で与えられる．ここで，\(\mathrm{SU}(2)_k\) の性質として，\(\tr U(p)=\tr U^\dag(p)\) を用いた． 各頂点は2点頂点であるため，Gauss の拘束条件により隣接するスピンの量子数は等しくなる． したがって物理状態の基底は，単一の表現(スピン) \(j\) を用いて \(\ket*{j}\) で表される．この状態は，\(j=0\) の状態 \(\ket{0}\) と \(\tr U_j\) を用いて，\(\ket{j}=\tr U_j\ket{0}\) と表される． 基底 \(\ket*{j}\) への電場項の作用は， \[ \frac{1}{2}\sum_{e\in {\mathcal{E}}}E^2(e)\ket*{j} =\frac{1}{2}\sum_{e\in {\mathcal{E}}}C_2(j)\ket*{j} =2C_2(j)\ket*{j} \] となる．一方，プラケット項の状態 \(\ket*{j}\) への作用は，式 (4.7) から， \[ \tr U(p)\ket*{j} = \ket*{j+\frac{1}{2}} +\ket*{j-\frac{1}{2}} \] となる．波動関数を \[ \ket{\psi}=\sum_j \tilde{\psi}(j)\ket{j} \] と展開すると，時間に依存しない Schrödinger 方程式 \(H\ket{\psi} = \varepsilon\ket{\psi}\) は， \[ (\varepsilon-2C_2(j))\tilde{\psi}(j) +K \tilde{\psi}(j+{1}/{2}) +K \tilde{\psi}(j-{1}/{2})=0 \tag{7.6}\] に帰着する． ここで，\(\varepsilon\) はエネルギーである． \(j\) は \(0,1/2,1,\cdots, k/2\) を走るので，\((k+1)\times(k+1)\) 行列の対角化問題に帰着する． 比較的小さい \(k\) については，数値的に容易に解くことができる．
極限 \(k\to\infty\) の時，すなわち通常の \(\mathrm{SU}(2)\) の場合には特殊関数を用いて解くことも可能である． そのために，電気的基底から磁気的基底に移ろう． これは，基底の変換として \[ \ket*{\omega} = \sum_{j}\chi_j(\omega) \ket*{j} \] で与えられる． ここで，\(\chi_j(\omega)= \sin(\omega(2j+1)/{2})/\sin({\omega}/{2})\) は \(\mathrm{SU}(2)\) の指標である． この基底は \(\tr U(p)\) の固有状態であり， \[ \tr U(p) \ket*{\omega} =\sum_{j}\chi_j(\omega)(\ket*{j+\frac{1}{2}}+\ket*{j-\frac{1}{2}}) =\sum_{j}(\chi_{j+1/2}(\omega)+\chi_{j-1/2}(\omega))\ket*{j} =2\cos\frac{\omega}{2}\ket{\omega} \] が成り立つ． ここで，\(\chi_{j+1/2}(\omega)+\chi_{j-1/2}(\omega)=2\cos(\omega/2)\chi_j(\omega)\) を用いた． 一方，この基底では，\(E^2\) は非対角であり，具体的には，指標の性質 \[ \frac{d^2}{d\omega^2}\chi_j(\omega)+ \cot\frac{\omega}{2}\frac{d}{d\omega}\chi_j(\omega)=-j(j+1)\chi_j(\omega) \] を用いると， \[ H\ket{\omega}=-\qty( 2\frac{d^2}{d\omega^2} +2\cot\frac{\omega}{2}\frac{d}{d\omega} +2K\cos\frac{\omega}{2})\ket{\omega} \] となる． したがって， \[ \ket{\psi}=\int_0^{4\pi} \frac{d\omega}{2\pi}\sin^2\frac{\omega}{2} \psi(\omega)\ket{\omega} \] と展開すれば，\(\varepsilon\ket{\psi}=H\ket{\psi}\) は， 微分方程式 \[ \qty( \varepsilon +2\frac{d^2}{d\omega^2}+ 2\cot\frac{\omega}{2}\frac{d}{d\omega} +2K\cos\frac{\omega}{2} )\psi(\omega)=0 \] に帰着する． ここで，この波動関数は指標 \(\chi_j(\omega)\) の性質から，\(\psi(\omega+4\pi)=\psi(\omega)\) の周期境界条件を満たす偶関数である． さらに変数変換 \[\begin{align} \omega&=4x ,\quad y(x)=\sin\frac{\omega}{2}\psi(\omega),\quad a=4(1+2\varepsilon),\quad q=-8K \end{align}\] を行なうと，Mathieu 型の微分方程式 \[ \frac{d^2}{d x^2}y +(a-2q\cos(2x))y=0 \] に帰着する． この微分方程式の解は，Mathieu 関数で表され，境界条件 \(y(x)=y(x+\pi)\) によってエネルギー固有値が離散化される．
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.sparse import lil_matrix
from scipy.special import mathieu_b
def nq(n: float, k: int) -> float:
"""q-number: [n]_q = sin(pi*n/(k+2)) / sin(pi/(k+2))"""
return np.sin(np.pi * n / (k + 2)) / np.sin(np.pi / (k + 2))
def quadratic_casimir(j: float, k: int = 0) -> float:
"""SU(2) の二次カシミール（k=0で通常、k>0で q-変形）"""
if k == 0:
return j * (j + 1.0)
return nq(j, k) * nq(j + 1.0, k)
def hamiltonian(coupling_K: float, k: int, naive: bool = False):
"""
(k+1)x(k+1) の三重対角ハミルトニアン（実対称疎行列, LIL 形式）。
naive=True のとき q-変形なし（k=0 相当）で対角項を計算。
"""
k_for_casimir = 0 if naive else k
h = lil_matrix((k + 1, k + 1), dtype=float)
for kk in range(k): # 0..k-1
h[kk, kk] = 2.0 * quadratic_casimir(kk / 2.0, k_for_casimir)
h[kk, kk + 1] = -coupling_K
h[kk + 1, kk] = -coupling_K
h[k, k] = 2.0 * quadratic_casimir(k / 2.0, k_for_casimir)
return h
def energy_exact(n: float, coupling_K: float) -> float:
"""
厳密エネルギー: a_m(q) を用い E = a/8 - 1/2
n は非負整数
"""
a = mathieu_b(2 * n + 2, 8.0 * coupling_K)
return a / 8.0 - 0.5
def main(k,coupling_K):
H_q = hamiltonian(coupling_K, k, naive=False)
H_naive = hamiltonian(coupling_K, k, naive=True)
eig_q, _ = np.linalg.eigh(H_q.toarray())
eig_naive, _ = np.linalg.eigh(H_naive.toarray())
n = np.arange(k + 1, dtype=int) # 0..k の整数
E_exact = energy_exact(n, coupling_K)
plt.figure()
plt.scatter(n, E_exact, label="exact")
plt.scatter(n, np.sort(eig_q), label="q-deform")
plt.scatter(n, np.sort(eig_naive), label="naive")
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Energy")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
k = 20
coupling_K = 10
main(k,coupling_K)