Appendix B — q変形
\(q\) 変形に関する参考文献として Ardonne and Slingerland (2010) を上げておく． 表現をカットオフしたゲージ理論で性質の良いものは，\(q\) 変形された量子群を考えることに対応する． ここでは，本稿で用いた \(q\) 変形について簡単に紹介する．
B.1 セミシンプルLie代数
まず一般のセミシンプルLie代数 \(\mathfrak{g}\) の量子群変形を考えよう． \(\mathfrak{g}\) のルートベクトルを \(\symbf{\alpha}_i\) とする． 生成子 \(H_i\), \(L_i^\pm\) の交換関係を Chevalley 基底を用いて，
\[ [H_i,H_j]=0,\quad [H_i,L_j^\pm] = \pm A_{ij}L_{j}^\pm,\quad [L_i^+,L_j^-]=\delta_{ij}[H_i]_{q_i} \tag{B.1}\]
とする．これらは， \(i\neq j\) について， Serre 関係式
\[ \sum_{s=0}^{1-A_{ij}}(-1)^s \begin{bmatrix} 1 - A_{ij}\\ s \end{bmatrix}_{q_i} (L_i^\pm)^{1-A_{ij}-s}L_j^\pm(L_i^{\pm})^s=0 \]
を満たす． ここで，\(A_{ij}\) は Cartan 行列の要素である:
\[ A_{ij} = \frac{2(\symbf{\alpha}_i,\symbf{\alpha}_j)}{(\symbf{\alpha}_j,\symbf{\alpha}_j)}. \]
また，\(t_j\) は，
\[ t_j=\frac{2}{(\symbf{\alpha}_j,\symbf{\alpha}_j)} \]
で定義されている． ただし，\((\symbf{\alpha}_j,\symbf{\alpha}_j)\) は，規格化に一般にルートベクトルの依存するが，ここでは，最高次のルートベクトル(随伴表現のhighest weight vector)を \(\theta\) としたとき，\((\theta,\theta)=2\) と規格化してあるものとする． \(g\) をdual Coxeter 数として，\(q\) は， \[ q\coloneqq e^{\frac{2\pi\ri}{k+g}} \]
で定義される． 添字付きは \(q_i\coloneqq q^{1/t_i}\) とする． \([n]_{q_i}\) は，
\[ [n]_{q_i} \coloneqq \frac{q_i^{\frac{n}{2}}-q_i^{\frac{n}{2}}}{q_i^{\frac{1}{2}}-q_i^{-\frac{1}{2}}} =\sum_{m=1}^nq_i^{\frac{n+1}{2}-m} \]
で定義され，二項係数は，
\[ \begin{bmatrix} n\\ m \end{bmatrix}_{q_i} \coloneqq\frac{[n]_{q_i}!}{[m]_{q_i}![n-m]_{q_i}!} \]
である． ここで， \([n]_{q_i}!\coloneqq[1]_{q_i}[2]_{q_i}\cdots [n]_{q_i}\) を導入した. \(k\to\infty\)，つまり \(q=1\) の場合は，式 (B.1) は，通常の Lie代数に戻る．以下，混乱の恐れがない場合は，添字の \(q_i\) は省略する．
表現の分解を対応付ける coproduct \(\Delta\) を
\[ \Delta(H_i)\coloneqq 1\otimes H_i+H_i\otimes 1, \]
\[ \Delta(L_i^\pm)\coloneqq L_i^\pm\otimes q_i^{H_i/4}+q_{i}^{-H_i/4}\otimes L_i^\pm \]
で定義する．これは，coassociativity
\[ ( \Delta\otimes1)\Delta=(1\otimes \Delta)\Delta \tag{B.2}\]
を満たす．
B.2 \(\mathrm{SU}(2)_k\)
具体例として，\(\mathfrak{g}=\mathfrak{su}(2)\) の場合を考えよう． この場合，ルートベクトルは一つで，\(A=2\), \(t_1=2/(\symbf{\alpha}_1,\symbf{\alpha}_1)=1\), \(g=2\) である． したがって，
\[ q \eqqcolon q_1= \exp\ri \frac{2\pi}{k+2} \]
として，
\[ [n]\coloneqq \frac{q^{\frac{n}{2}} - q^{-\frac{n}{2}}}{q^{\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}}} = \frac{\sin\qty(\frac{\pi}{k+2}n)}{\sin\qty(\frac{\pi}{k+2})} \]
となる．\(J_0=H_0/A\), \(J_\pm=L^\pm\) とすると， 交換関係は，
\[ [J_0,J_\pm]= \pm J_{\pm}, \]
\[ [J_+,J_-]= [2J_{0}] \]
となる． 特に\(2\)次のカシミア不変量は \([j][j+1]\) となる. これは，
\[ C_2= J_-J_++[J_0][J_0+1]= J_+J_-+[J_0][J_0-1] \tag{B.3}\]
で，これは，\(J_{\pm}\), \(J_0\) と可換である．
状態を，\(C_2\) と \(J_0\) の固有状態 \(\ket{j,m}\) でラベルすると
\[ C_2\ket{j,m}=[j][j+1]\ket{j,m}, \]
\[ J_0\ket{j,m} = m \ket{j,m} \]
となる． ここで，状態の内積は，\(j=0,1/2,1,\cdots k/2\) 及び，\(m=-j,j+1,\cdots, j-1,j\) の値を取る． また, \(J_0 J_\pm\ket{j,m}= (J_\pm J_0+[J_0,J_\pm])\ket{j,m}=(m\pm 1)J_\pm \ket{j,m}\) より，\(J_\pm\ket{j,m} \propto \ket{j,m\pm 1}\) がわかり，\(J_\pm\ket{j,m}=N_\pm(j,m)\ket{j,m\pm1}\) として，式 (B.3) より，
\[ |N_\pm(j,m)|^2 = \bra{j,m}J_\mp J_\pm\ket{j,m}= \bra{j,m}C_2-[J_0][J_0\pm1]\ket{j,m}=[j][j+1]-[m][m\pm 1] \]
となることから，
\[ N_{\pm}(j,m) = \sqrt{[j][j+1]-[m][m\pm1]}=\sqrt{[j\mp m][j\pm m+1]} \]
に選ぶことができる．
次の表現の合成について考えよう．まず coproduct \(\Delta\) は，
\[ \Delta(J_0)= J_0\otimes 1 + 1\otimes J_0, \]
\[ \Delta(J_\pm)= J_\pm\otimes q^{J_0/2} + q^{-J_0/2} \otimes J_\pm. \]
である．
具体的な例として，ふたつの \(j=1/2\) の合成を考えよう． まず，\(\ket{1,1}=\ket{\uparrow}\ket{\uparrow}\) となることは容易にわかる． \(\ket{1,0}\) は，\(\Delta(J_-)\) を作用させることで得ることができる:
\[ \Delta(J_-)\ket{1,1}= q^{1/4}\ket{\uparrow}\ket{\downarrow} +q^{-1/4}\ket{\downarrow}\ket{\uparrow} \]
となる．これは規格化されていない． \(\ket{1,0}=\mathcal{N}\Delta(J_-)\ket{1,1}\) として，規格化因子 \(\mathcal{N}\) を \(\bra{1,0}\ket{1,0}=1\) となるように決める．ただし，\(q\) の複素共役は，\(q\) とする． すると，
\[ 1=\bra{1,0}\ket{1,0}=|\mathcal{N}|^2(q^{1/2}+q^{-1/2})= |\mathcal{N}|^2[2] \]
より，\(\mathcal{N}\) の位相を実に選んで
\[ \mathcal{N}= \frac{1}{\sqrt{[2]}} \]
が得られる． さらに \(\Delta(J_-)\) を \(\ket{1,0}\) に作用させると，
\[ \Delta(J_-)\ket{1,0} = \frac{2}{\sqrt{[2]}}\ket{\downarrow}\ket{\downarrow} \]
となるので，規格化を考慮して，
\[ \ket{1,-1}=\ket{\downarrow}\ket{\downarrow} \]
を得る． したがって，Clebsch–Gordan 係数は，
\[ \bra{1,1}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}}_q=1, \]
\[ \bra{1,0}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}_q=\frac{q^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{[2]}}, \]
\[ \bra{1,0}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}}_q =\frac{q^{-\frac{1}{4}}}{\sqrt{[2]}}, \]
\[ \bra{1,-1}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}_q=1 \]
となる．\(\ket{0,0}\) は，\(\ket{1,0}\) と直交するように選んで，
\[ \ket{0,0}= \frac{q^{-1/4}}{\sqrt{[2]}}\ket{\uparrow}\ket{\downarrow} -\frac{q^{1/4}}{\sqrt{[2]}}\ket{\downarrow}\ket{\uparrow} \]
となる．
次により一般のスピン \(j_1\) と \(j_2\) の合成を考えよう． スピン \(j_1+j_2\) の状態は， \[ \ket{j_1+j_2,j_1+j_2}=\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2} \] を考え，\(\Delta(J_-)\) で状態を下げていけば求まる: \[ \Delta(J_-)\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2} = q^{\frac{j_2}{2}}\sqrt{[2j_1]}\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}+q^{-\frac{j_1}{2}}\sqrt{[2j_2]}\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1}. \]
先ほどと同様に， \(\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}=\mathcal{N}\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2}\) として，規格化因子は，
\[ \begin{split} 1&=|\mathcal{N}|^2(q^{j_2}[2j_1]+q^{-j_1}[2j_2])\\ &=|\mathcal{N}|^2 \frac{q^{j_1+j_2}-q^{-j_1+j_2} +q^{j_2-j_1}-q^{-j_2-j_1} }{q^{\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}}}\\ &=|\mathcal{N}|^2[2(j_1+j_2)] \end{split} \]
より求まり，
\[ \ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}=\frac{1}{\sqrt{[2(j_1+j_2)]}}(q^{\frac{j_2}{2}}\sqrt{[2j_1]}\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}+q^{-\frac{j_1}{2}}\sqrt{[2j_2]}\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1}) \]
が得られる．この手順を繰り返すことで，\(j_1+j_2-2,\cdots,-j_1-j_2\) の状態が求まる． また，\(\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-1}\) の状態は，\(\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}\) と直交するように選ぶことで得られる: \[ \ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-1} =\frac{1}{\sqrt{[2(j_1+j_2)]}}( q^{\frac{j_2}{2}}\sqrt{[2j_1]}\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1} -q^{-\frac{j_1}{2}}\sqrt{[2j_2]}\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2} ). \]