3 \(\mathrm{SU}(N)\)群とその表現
前節で扱った \(\mathrm{SU}(2)\)群 をより高次元に拡張すると \(\mathrm{SU}(N)\)群が得られる．
3.1 \(\mathrm{SU}(N)\)
\(\mathrm{SU}(N)\)群は，複素 \(N\) 次元ベクトル空間の内積を保ち，かつ行列式が \(1\) である変換全体からなる群である． 2つの複素 \(N\) 次元ベクトル \(w,z\) に対して，変換 \(w\mapsto g w\), \(z\mapsto gz\) のもとで，内積
\[ (w,z) \coloneqq w^\dag z \]
は，次のように変換される:
\[ (w,z)\mapsto (gw,gz) = (w,g^\dag g z) \,. \]
ここで，\(g\) は，\(N \times N\) 複素行列であり，\(\dag\) はHermite 共役を表す． この変換で内積が不変となるためには，
\[ g^\dag g=\mathbf{1}_N \]
を満たす必要がある．ここで，\(\mathbf{1}_N\) は \(N \times N\) の単位行列である． また，行列式が1である条件から，\(\det g=1\) が要求される．
群の元は，指数表示で， \[ g= \exp(\ri T_i\theta^i) \tag{3.1}\]
と表すことができる．ここで，\(\theta^i\) は実数パラメータである． ユニタリ条件 \(g^\dag g=1\) から，生成子 \(T_i\) はエルミート行列（\(T_i^\dag =T_i\)）でならなければならない． また，\(\det g=1\) から，トレースレス（\(\tr T_i=0\)）である． \(N\times N\) エルミート行列は，独立成分が \(N^2\) 個ある． トレースレスの条件により，独立な生成子は，\(N^2-1\) 個存在する．
また，群が積で閉じる条件から，生成子の交換関係が，生成子の線形結合でなければならない． すなわち， \[ [T_i,T_j]=\ri f^k_{~ij}T_k \,. \tag{3.2}\]
が成り立つ． ここで，\(f^k_{~ij}\) は構造定数である． \(\mathrm{SU}(N)\)群の Lie代数を \(\mathfrak{su}(N)\) と書く． 抽象的な生成子を \(J_i\) とすれば， \[ g=\exp(\ri J_i\theta^i), \qquad [J_i,J_j]=\ri f^k_{~ij}J_k \tag{3.3}\]
と表される．
3.2 \(\mathrm{SU}(N)\) 群のユニタリ表現
群の線形表現とは, 群の各元にベクトル空間上の可逆線形変換（基底を選べば行列）を対応させる写像である. 特にヒルベルト空間上で, 対応する行列がユニタリ行列となるとき, これをユニタリ表現と呼ぶ.
有限次元のユニタリ表現は常に完全可約であり, 既約表現の直和に分解できる. すなわち, 適当な基底を選べば, 群のすべての表現行列を同時にブロック対角化することができる. 逆に, いかなる基底を選んでも非自明なブロック分解ができないとき, その表現を既約という.
\(\mathrm{SU}(2)\) の場合
\(\mathrm{SU}(2)\) 群では, 生成子 \(J_3\) の固有値 が表現を特徴づける. 最大固有値 \(j\) を指定することで既約表現が一意に定まり, 次元は \(2j+1\) である.
\(\mathrm{SU}(N)\) の場合
\(\mathrm{SU}(N)\) 群のリー代数 \(\mathfrak{su}(N)\) は, \(N \times N\) トレースレスなエルミート行列から構成される. 対角成分は \(N-1\) 個の独立な生成子を持ち, これらは互いに可換である. したがって \(\mathrm{SU}(N)\) 群は階数 \(N-1\) のリー群である.
この構造により, \(\mathrm{SU}(N)\)群の既約表現は \(N-1\) 個の非負整数（最高ウェイトを指定する量子数）で特徴づけられる. 詳細な構成については文献 (Georgi and 九後 2010) を参照する.
QCDで重要になるのが \(\mathrm{SU}(3)\)群である． その Lie代数 \(\mathfrak{su}(3)\) の生成子の数は，
\[ 3^2-1=8 \]
である． 具体的には，Gell-Mann 行列 \[ \begin{split} &\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\ri & 0\\ \ri & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\notag\\ &\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\ri\\ 0 & 0 & 0\\ \ri & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\ri\\ 0 & \ri & 0 \end{pmatrix},\quad \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \end{split} \]
を用いて，
\[ T_i=\frac{\lambda_i}{2} \]
に取ることができる． このとき，規格化条件として
\[ \tr T_iT_j = \frac{1}{2}\delta_{ij} \]
が成り立つ．また，交換関係
\[ [T_i, T_j] = \ri f^k_{~ij} T_k \]
に現れる構造定数 \(f^{k}_{~ij}\)は，添字を下げて，
\[ f_{kij}=\delta_{kl}f^{k}_{~ij} \]
と書くと，これは完全反対称である．
\(f_{ijk}\) で，ゼロでないものは，
\[ f_{123}=1,\quad f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad f_{147}=f_{165}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{376}=\frac{1}{2} \]
である．
これは，既約表現 \(a\) は，Dynkinラベルを用いて \(a = (p,q)\) で表すことができる． ここで，\(p\)，\(q\) は Young 図の1段と2段の箱の数に対応する非負の整数である:
基本表現は \((1,0)\)，反基本表現は \((0,1)\)，随伴表現は \((1,1)\) となる．
また，表現の次元は次式で与えられる:
\[ d_a = \frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2)\,. \]
既約表現の表記
既約表現を \(a\) とし，その表現空間を \(\mathcal{Q}_a\)，次元を \(d_a\) と書く. 正規直交基底を \(\{\ket{a,m}\}\) とすれば，生成子 \(J_i\) の表現行列要素は
\[ [T_{ai}]^{m}_{n} \coloneqq \bra{a,m} J_i \ket{a,n} \]
で定義される.
このとき，群の元 \(g \in \mathrm{SU}(N)\) の作用は指数表示によって
\[ [D_a(g)]^{m}_{n} = \bigl[\exp(i \theta^i T_{ai})\bigr]^{m}_{n} \]
と表される.
直交性関係
これらの表現行列は，群の Haar 測度 \(\dd g\) に関して次の直交性関係を満たす:
\[ \int \dd g \,\, [D_{a'}(g)^\dagger]^{m'}_{n'} \, [D_a(g)]^{m}_{n} = \frac{1}{d_a}\,\delta_{a,a'}\,\delta^{m}_{n'}\,\delta^{m'}_{n}. \tag{3.4}\]
ここで \(\dd g\) は \(\int \dd g = 1\) となるように規格化されたコンパクト群 \(\mathrm{SU}(N)\) の Haar 測度である.
3.3 表現の合成
次に2つの既約表現 \(a\) と \(b\) の合成を考える.
2つの既約表現を合成（直積）すると, それは既約表現の直和に分解する:
\[ \mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b} =\bigoplus_cN_{ab}^{c}\mathcal{Q}_{c} \,. \]
ここで, \(N_{ab}^{c}\) は fusion 係数（テンソル積係数）と呼ばれる非負の整数で, 既約表現が直積分解の中に何回現れるかを表す多重度である.
一般には, \(N_{ab}^c > 1\) の値を取りうる.
例えば，\(\mathrm{SU}(3)\) の場合に，2つの随伴表現 \(\bm{8}\) の合成は，
\[ \mathbf{8} \otimes \mathbf{8} = \mathbf{27} \oplus \mathbf{10} \oplus \overline{\mathbf{10}}\oplus \mathbf{8} \oplus \mathbf{8} \oplus \mathbf{1} \]
と分解され，\(\mathbf{8}\) が2回現れる．従って \(N_{\mathbf{8}\mathbf{8}}^{\mathbf{8}}=2\) となる．
3つの表現の合成(直積)は
\[ \mathcal{Q}_{a}\otimes (\mathcal{Q}_{b}\otimes \mathcal{Q}_{c})\simeq (\mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b}) \otimes \mathcal{Q}_{c} \]
を満たす．これに対応して，fusion係数は，
\[ \sum_{d}N_{ad}^{f}N_{bc}^{d}= \sum_{d}N_{ab}^{d}N_{dc}^{f} \]
を満たす．
次に具体的に既約表現を合成しよう．表現 \(a\)，\(b\) を合成し \(c\) を作ったとする．そのときのベクトル \(\ket*{(ab)c,m_c}\) 及び， 直積状態は，
\[ \ket*{(ab)c,m_c;\mu} = \sum_{m_a,m_b}\ket*{a,m_a} \ket*{b,m_b}\braket{a,m_a;\, b,m_b}{c,m_c;\mu}\,, \tag{3.5}\]
および \[ \ket*{a,m_a} \ket*{b,m_b}= \sum_{c,m_c,\mu} \ket*{(ab)c,m_c;\mu} \braket{c,m_c;\mu}{a,m_a;\, b,m_b} \]
と表せる． ここで， \(\braket{a,m_a;\, b,m_b}{c,m_c;\mu}\)，\(\braket{c,m_c;\mu}{a,m_a;\, b,m_b}\) は Clebsch–Gordan 係数であり， \(\mu\in\{1,2,\cdots, N_{ab}^c\}\) は，多重度に対するラベルである．
式 (3.5) は，\(\mathcal{Q}_{c}\to \mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b}\) の写像を与える． つまり，\(\ket{v}=\sum_{m_c}v^{m_c}\ket{c,m_c}\in \mathcal{Q}_{c}\)を \(\sum_{m_a,m_b,m_c}\ket*{a,m_a} \ket*{b,m_b}\braket{a,m_a;\, b,m_b}{c,m_c;\mu}v^{m_c}\in \mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b}\) に移す．
また，Clebsch–Gordan 係数は，直交性関係
\[ \sum_{m_a,m_b} \braket{d,m_d;\mu}{a,m_a;\, b,m_b} \braket{a,m_a;\, b,m_b}{c,m_c;\mu'} =\delta^{\mu}_{\mu'}\delta_{c}^{d}\delta_{m_c}^{m_d} \,, \tag{3.6}\]
\[ \sum_{c}\sum_{m_c,\mu} \braket{a,m_a;\, b,m_b}{c,m_c;\mu} \braket{c,m_c;\mu}{a,m'_a;\, b,m'_b} =\delta^{m_a}_{m'_a}\delta^{m_b}_{m'_b} \tag{3.7}\]
を満たす．
また，Clebsch–Gordan 係数は不変テンソルになっている．つまり，
\[ \braket{a,m_a;\, b,m_b}{c,m_c;\mu}=\sum_{m'_a,m'_b,m'_{c}} [D_{c}(\bar{g})]_{m_c}^{m'_c}[D_{a}(g)]^{m_a}_{m'_a}[D_{b}(g)]^{m_b}_{m'_b} \braket{a,m'_a;\, b,m'_b}{c,m'_c;\mu} \]
を満たす．
合成の順番を入れ替えた，\(\ket*{(ab)c,m_c}\) と \(\ket*{(ba)c,m_c}\) は，
\[ \ket*{(ab)c,m_c;\mu} =\sum_{\nu}[R_c^{ab}]_{\mu\nu} \ket*{(ba)c,m_c;\nu} \]
の関係がある．
3つの表現 \(a\), \(b\), \(c\) を合成し，\(d\) を作る問題を考える．\(a\) と \(b\) を合成し \({e}\) を作り，その後，\(c\) を合成すると，
\[ \ket*{((ab)_{e,\mu},c)_{d,\nu},m_d} = \sum_{m_{a},m_b,m_c,m_{e}} \ket*{a,m_a}\ket*{b,m_b}\ket*{c,m_c} \braket{a,m_a;\, b,m_b}{{e},m_{e};\mu} \braket{{e},m_{e};\, c,m_c}{d,m_d;\nu} \]
となる．一方，先に \(b\) と \(c\) を合成し，\({f}\) を作り，その後，\(a\) を合成すると，
\[ \ket*{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d} = \sum_{m_{a},m_b,m_c,m_{f}} \ket*{a,m_a}\ket*{b,m_b}\ket*{c,m_c} \braket{a,m_a;\, {f},m_{f}}{{d},m_{d};\sigma} \braket{{b},m_{b};\, c,m_c}{{f},m_{f};\rho} \]
となる．
\(\ket*{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d}\) と \(\ket*{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d}\) は，独立ではなく次のユニタリ変換（\(F\)-moves）で結びついている:
\[ \ket*{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d} =\sum_{f,\rho,\sigma} \ket*{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d} \braket{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d}{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d} \,. \tag{3.8}\]
この係数は，\(\braket{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d}{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d}\) は，\(m_d\) に依存しない．
\(F\)-symbol を \[ [F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\coloneqq \braket{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d}{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d} \]
で導入すると，式 (3.8) は，
\[ \ket*{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d} =\sum_{f,\rho,\sigma} [F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)} \ket*{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d} \]
となる． Clebsch–Gordan 係数を用いて \(F\)-symbol を表すと
\[ \begin{split} [F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)} & = \frac{1}{d_d}\sum_{m_{a},m_b,m_c,m_dm_{e} m_{f}}\braket{a,m_a;\, b,m_b}{{e},m_{e};\mu}\braket{{e},m_{e};\, {c},m_{c}}{{d},m_{d};\nu}\\ &\qquad\qquad\qquad \times \braket{{f},m_{f};\rho}{ b,m_b;\, {c},m_{c} }\braket{d,m_d;\sigma}{a,m_a;\, {f},m_{f}} \end{split} \tag{3.9}\]
となる．ここで，右辺は，\(m_d\) に依存しないが和を取り\(d_d\)で割ることで，対称な形になるようにした．
逆変換は，
\[ \ket*{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d} =\sum_{e,\mu,\nu} [(F^{abc}_d)^{-1}]_{(f,\rho,\sigma)(e,\mu,\nu)} \ket*{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d} \]
であり，
\[ [(F^{abc}_d)^{-1}]_{(f,\rho,\sigma)(e,\mu,\nu)}=\braket{((ab)_{e,\mu}c)_{d,\nu},m_d}{(a,(bc)_{f,\rho})_{d,\sigma},m_d} \]
となる．これは，ユニタリである性質
\[ [(F^{abc}_d)^{-1}]_{(f,\rho,\sigma)(e,\mu,\nu)} =[(F^{abc}_d)^{\dag}]_{(f,\rho,\sigma)(e,\mu,\nu)} =[F^{abc}_d]^{*}_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)} \]
を満たす． また，\(F\)-symbol は，以下の関係を満たす(pentagon equation):
\[ \begin{split} &\sum_{\delta}[F_e^{fcd}]_{(g,\beta,\gamma)(l,\nu,\delta)} [F_e^{abl}]_{(f,\alpha,\delta)(k,\mu,\lambda)}\\ &\quad= \sum_{h,\sigma,\psi,\rho} [F^{abc}_g]_{(f,\alpha,\beta)(h,\psi,\sigma)} [F_{e}^{ahd}]_{(g,\sigma,\gamma)(k,\rho,\lambda)} [F^{bcd}_{k}]_{(h,\psi,\rho)(l,\nu,\mu)} \end{split} \]
これは表現の結合順序を変える際の一貫性条件を表している．
3.4 \(\mathrm{SU}(N)\) Clebsch–Gordan 係数の演算のグラフィカルな表現
Clebsch–Gordan 係数を図を使って表現するといろいろ便利である． まず，2点頂点は，
\[= \braket{b, n_b}{a, m_a} = \delta^{b}_{a}\delta^{n_b}_{m_a}\]
と表す． 特に，\(a=b\) のときは，単にドットを取って
\[=\braket{a,n_a}{a,m_a} =\delta^{n_a}_{m_a}\]
と書くことにする．Clebsch–Gordan 係数は，
\[=\braket{c,n_c;\mu}{a,m_a;\, b,m_b}\,,\]
\[= \braket{a,n_a;\, b,n_b}{c,m_c;\mu}\]
で表す．
3つの表現の合成に対応するダイアグラムは，
\[= \sum_{l_e}\braket{a,n_a;\, b,n_b}{e,l_e;\mu}\braket{e,l_e;\, c,n_c}{d,m_d;\nu}\]
である．ここで，内線の磁気量子数 (\(l_e\)) については和を取るものとする．
このルールを用いると，式 (2.11) の直交性は，
\[=\delta_{\mu}^{\mu'}\] 
\[=\delta_{c}^{c'}\delta_{\mu}^{\mu'}\] 
と表すことができる．同様に，式 (2.12) は，
\[= \sum_{c,\mu}\] 
と表すことができる． また，\(F\)-symbol は, \([F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\) となり，
\[= \sum_{f,\rho,\sigma} [F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\] 
と表現される．
これらのグラフィカルルールを用いると，例えば
\(=\sum_{g,\rho,\sigma} [F_d^{abc}]_{(e,\mu,\nu)(g,\lambda,\sigma)}\) 
\(= \sum_{\sigma}[F_d^{abc}]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\) 
\[\text{} \tag{3.10}\]
が比較的簡単に評価できる．つまり，
\[ \begin{split} &\sum_{l_b,l_c,l_e} \braket{f,n_f;\rho}{b,l_b;\, c,l_c} \braket{a,n_a;\, b,l_b}{e,l_e;\mu} \braket{e,l_e;\, c,l_c}{d,m_d;\nu}\\ & = \sum_{\sigma}[F_d^{abc}]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\braket{a,n_a;\,f,n_f}{d,m_d;\sigma} \end{split} \tag{3.11}\]
が成り立つが示せる．
また，Wilson 線の交換に対応するブレイドは，
\[=\sum_{\nu}[R_c^{ab}]_{\mu\nu}\ \] 
と記述される．これらは，具体系は書かないが，\([R^{ab}]_{\mu\nu}\) と \(F\)-symbol は，無矛盾条件 (Hexagon equations) を満たす．