9 変分波動関数を用いた解析
ここでは，変分波動関数を用いた解析手法を紹介しよう．
9.1 ハミルトニアン
ここでは \((2+1)\) 次元，ハニカム格子状の一般の \(q\) 変形されたコンパクト Lie 群ゲージ理論を考える． ハミルトニアンは次で与えられる：
\[ H = \frac{1}{2}\sum_{e\in {{\mathcal{E}}}} E^2(e) - \frac{K}{2} \sum_{p\in \mathcal{P}}\qty( \tr U_f (p)+\tr U_{\bar{f}} (p) )\,. \tag{9.1}\]
ここで， \({\mathcal{E}}\) は電場が作用する辺の集合で \(\mathcal{P}\) はプラケットの集合である． \(E^2(e)\) は電場の2乗で \(\tr U_f (p)\) は表現 \(f\) の Wilson ループである． ここで，表現は任意で，例えば基本表現を取れば良い． \(K\) は結合定数である．
演算子の状態への作用は，以前と同じように以下で与えられる：
\[E^2 \] 
\[= C_2(a)\]
\[ \tag{9.2}\]
\[\tr U_{d}\] 
\[ =\sum_{\{a'_{i},\mu'_i\}}\prod_{i=1}^{6}
[F_{a'_{i}}^{c_{i}a_{i-1}d}]_{(a_{i},\mu_i,\mu_{i+1}),({a'}_{i-1},\mu'_{i-1},\mu'_{i})}\] 
となる． ここで， \(a'_0=a'_6\), \(\mu_0=\mu_6\), \(\mu'_0=\mu'_6\), および \(\mu'_7=\mu'_1\) である． また，\(C_2(a)\) は2次の Casimir 不変量である．
9.2 平均場波動関数
ここで用いる波動関数は，\((2+1)\) 次元系において閉じ込め相と非閉じ込め相の両方を記述できるものである． 変分波動関数として，以下の形を仮定する (Dusuel and Vidal 2015; Zache, González-Cuadra, and Zoller 2023; Hayata and Hidaka 2023)：
\[ |\Psi\rangle=\prod_{p\in \mathcal{P}} \sum_{a_p}\psi(a_p)\tr U_{a_p}(p)\ket{0} \,. \tag{9.3}\] ここで，\(\ket{0}\) は強結合極限における真空状態である． 変分関数 \(\psi(a)\) は規格化条件 \(\langle\Psi|\Psi\rangle=1\) となるように \(\sum_a |\psi(a)|^2=1\) で規格化されている． さらに，空間体積は無限大を仮定し，境界条件として開放端境界条件を課す．
9.3 物理量の期待値
この変分波動関数が得られたとして，物理量 \(O\) の期待値 \(\expval{O}\coloneqq\expval{O}{\Psi}\) を評価してみよう. 例としてWilson ループ \(O=\tr U_d(\partial S)\) を考える．ここで，\(\partial S\) は，\(S\) で囲まれたループを意味する．期待値は，
\[ \begin{split} &\expval{\tr U_d(\partial S)}\\ &= \bra{0}\tr U_{d}(\partial S)\qty(\prod_{f\in \mathcal{P}} \sum_{a_p,b_p}\psi^*(a_p)\psi(b_p)\tr U_{\bar{a}_p}(p)\tr U_{b_p}(p))\ket{0}\\ &= \sum_{\{a\},\{b\},\{c\}}\qty(\prod_{p'\in\mathcal{P}}\psi^*(a_{p'})\psi(b_{p'})N_{\bar{a}_{p'}b_{p'}}^{c_{p'}}) \bra{0}\tr U_{d}(\partial S)\prod_{f\in \mathcal{P}} \tr U_{c_p}(p)\ket{0} \end{split} \tag{9.4}\]
の形を取る．ここで，2行目から3行目へは，式 (4.7) を用いた． また，表記として，
\[ \sum_{\{a\}}=\prod_{f\in\mathcal{P}}\sum_{a_p} \]
を導入した． 非自明な計算は，
\[ \bra{0}\tr U_{d}(\partial S)\prod_{f\in \mathcal{P}} \tr U_{c_p}(p)\ket{0} \]
の評価である．このために，まず，
\[ \tr U_{d}(\partial S)\prod_{f\in \mathcal{P}} \tr U_{c_p}(p)\ket{0} \tag{9.5}\]
を考え，この状態に \(\bra{0}\) を作用させることを考える． 境界を持つ小さい格子を用いて計算法を説明する．状態は，
\[= U_{d}(\partial S)\prod_{f\in \mathcal{P}} \tr U_{c_p}(p)\ket{0}\]
のように表すことができる．ここで，赤線は \(\partial S\) を表し，その内側の領域 \(S\) は，薄いグレーで表している．ここに，\(\bra{0}\) を作用させ，期待値を評価しよう．まず，境界に注目する． 境界において，Wilson ループを辺に移動させる:
\[\quad=\quad\] 
\(\bra{0}\) を作用させると，\(\bra{0}\ket{a}=\delta_{a}^0\) であるため，境界は \(a=0\) の状態のみが生き残る．したがって，
\[\quad=\quad \] \[\quad\to\quad\] 
と置き換えることができる．矢印は，\(\bra{0}\) を作用させた時に等号になる置き換えである． このプラケットの期待値 (9.4) への寄与は，自明である:
\[ \sum_{a,b,c}\psi^*(a)\psi(b)N_{\bar{a}b}^{c}\delta_{c}^0 =\sum_{a,b}\psi^*(a)\psi(b)\delta^{a}_b =1\,. \]
ここで，\(N_{\bar{a}b}^0=\delta^{a}_b\) を用いた． この操作を \(\partial S\) を含む辺まで繰り返すと，
\[\quad\to\quad\] 
となる．次にWilson ループが接触するところの評価をしよう． 式 (5.11) を用いて，
\[\quad =\sum_{c,\mu}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_{{d}}d_{c_1}}} \quad\] 
\[\quad\to\frac{\delta^{\bar{d}}_{c_1}}{d_d}\quad\] 
となる．これの操作を繰り返すと，
\[\quad\to\qty(\prod_{f\in S}\frac{\delta^{\bar{d}}_{c_i}}{d_{d}})\] 
\[=d_{d}\qty(\prod_{f\in S}\frac{\delta^{\bar{d}}_{c_i}}{d_{d}})\] 
が得られる．式 (9.4) の係数を考慮すると，Wilson ループの期待値は，
\[ \begin{split} \expval{\tr U_d(\partial S)} &= d_d\prod_{f\in S} \sum_{a_p,b_p,c_p}\psi^*(a_p)\psi(b_p)N_{\bar{a}_pb_p}^{c_p}\frac{\delta_{c_p}^{\bar{d}}}{d_d}\\ &= d_d\qty(\frac{\sum_{a,b}N_{db}^{a}\psi^*(a)\psi(b)}{d_d})^{|S|}\\ &=d_d\exp(-|S|\sigma_d) \end{split} \tag{9.6}\]
となる．ここで，2行目で \(N_{\bar{a}b}^{\bar{d}}=N_{db}^{a}\) という事実を用いた． \(|S|\) は \(\partial S\) の内側のプラケットの数を表し，\(\sigma_d\) はストリングテンション
\[ \sigma_d\coloneqq\ln\frac{d_d}{\sum_{a,b}N_{db}^{a}\psi^*(a)\psi(b)} \tag{9.7}\]
を表す．もし，\(\sigma_d\) が有限であれば，Wilson ループの期待値は面積則を示す． 一方，ストリングネット凝縮状態 \(\psi(a)=d_a/\mathcal{D}\) (Levin and Wen 2005) では，Wilson ループの期待値は定数となり，非閉じ込め相(トポロジカル相)になる．
次にハミルトニアン (9.1) の期待値を考えよう． 式 (9.6) を用いると，プラケットに作用するWilson ループの期待値は，
\[ \expval{\tr U_f(p)}{\Psi}= \sum_{a,b}N^a_{fb}\psi^*(a)\psi(b) \tag{9.8}\]
と表せる．
Wilson ループの期待値の計算と同様の方法で，\(\expval{E^2(e)}\) を評価する: \[ \begin{split} \expval{E^2(e)}&= \sum_{a,b,a',b'}\psi^*(a')\psi^*(b')\psi(a)\psi(b) \bra{0} \tr U_{\bar{a}'}(p)\tr U_{\bar{b}'}(p') E^2(e)\tr U_{{a}}(p)\tr U_{b}(p')\ket{0}. \end{split} \] ここで，\(p\) と \(p'\) は辺 \(e\) に接するプラケットである．辺に接していないプラケットでの計算は，Wilson ループの期待値の時と同じように，期待値には非自明には寄与しない．したがって，辺 \(e\) に接するプラケットのみを考慮すれば十分である． まず状態
\[\tr U_{{a}}(p)\tr U_{b}(p')\ket{0}=\] 
に \(E^2\) を作用させると
\[E^2(e)\]
\[=\sum_{c,\mu}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_{\bar{a}}d_b}}\] 
\[=\sum_{c,\mu}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_{\bar{a}}d_b}}C_2(c)\]
となる．1行目，2行目で， 式 (5.11)，(9.2) をそれぞれ用いた． 次にこれらのプラケットにWilson ループを作用させ，期待値を評価すると，
\[\tr U_{\bar{a}'}(p)\tr U_{\bar{b}'}(p') E^2(e)\tr U_{{a}}(p)\tr U_{b}(p')\ket{0}
=\sum_{c,\mu}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_{\bar{a}}d_b}}C_2(c)
\] 
\[\to\sum_{c,\mu}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_{\bar{a}}d_b}}C_2(c)
\frac{\delta_{a}^{a'}\delta_{b}^{b'}}{d_ad_b}\] 
\[=\sum_{c}N_{\bar{a}b}^c\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_{\bar{a}}d_b}}C_2(c)\frac{\delta_{a}^{a'}\delta_{b}^{b'}}{d_ad_b}
\frac{\sqrt{d_{{a}}d_c}}{\sqrt{d_b}}d_b\] 
となる．したがって，\(E^2(e)\) の期待値は， \[\label{eq-exp_E2} \expval{E^2(e)}= \sum_{a,b,c}C_2(c)N_{\bar{a}b}^c\frac{d_c}{d_ad_b}|\psi(a)|^2|\psi(b)|^2 \]
となる．結果として，ハミルトニアンの期待値は， \[ \begin{split} \mathcal{H}&=\frac{1}{V}\expval{H} \\ &= \sum_{a,b,c} C_2(c)N^{c}_{\bar{a}b}\frac{d_{c}}{d_{a}d_{b}} |\psi(a)|^2|\psi(b)|^2 - \frac{K}{2}\sum_{a,b}\psi^*(a)\left(N^a_{fb}+N^a_{\bar{f}b}\right)\psi(b) \end{split} \]
となる．ここで，\(V\) はプラケットの数である． \(\mathcal{H}\) を最小化するように変分波動関数を求める問題に帰着する．