10 フェルミオン

まず，\(N\) 自由度のフェルミン場を \(\chi^n\), \(\chi^\dagger_n\) とする．ここで，\((\chi^n)^\dagger = \chi^\dagger_n\) という表記を用いる．これらは，

\[ \{\chi^n,\chi^\dagger_m\} = \delta^n_m \]

を満たす．ここで，\(\{,\}\) は反交換関係である．その他の反交換関係はゼロである:

\[ \{\chi^m,\chi^n\} = \{\chi^\dagger_m,\chi^\dagger_n\} = 0 \,. \]

10.1 \(\mathrm{SU}(2)\)の場合

フェルミオンが 1フレーバー，スピンレスで，\(\mathrm{SU}(2)\) の基本表現に属する場合を考える．このとき，添字 \(n\) は 2つの値を取る．フェルミオンはグラフの各頂点上に定義される． 1つの頂点にはフェルミオンが 2 個まで入ることができるので，取り得る局所状態は \(4\) 通りである． \(\ket*{0}\) を \(\chi^n\ket*{0}=0\) となる状態，\(B^\dagger =\epsilon^{mn}\chi^\dagger_m\chi^\dagger_n/2\)とすると，局所状態は，\(\ket*{0}\) および， \[ \begin{aligned} \ket*{\uparrow} &\coloneqq \ket{\frac{1}{2}}=\chi_1^\dagger\ket*{0}\,, \\ \ket*{\downarrow} &\coloneqq \ket{-\frac{1}{2}}=\chi_2^\dagger\ket*{0}\,,\\ \ket*{B} &\coloneqq B^\dagger\ket*{0} \end{aligned} \]

の4状態である．

Gauss の拘束条件

物質場が存在する場合，Gauss の拘束条件は次のように修正される：

\[ G_i(v)= \sum_{e\in \mathcal{E}| \mathrm{s}(e)=v}\ER_{i}(e)-\sum_{e\in \mathcal{E}| \mathrm{t}(e)=v}\EL_{i}(e) +\rho_i(v)\,. \tag{10.1}\]

ここで，\(\rho_i(v)\) は，カラー電荷密度であり，

\[ \rho_i(v) = \chi^\dagger(v) T_i\chi(v) \]

で与えられる．この演算子は，Lie代数の交換関係 \[ [\rho_i(v), \rho_j(v)] = \ri f^k_{~ij} \rho_k(v) \]

を満たす．

\(\rho_i\) を \(\ket{0}\), \(\ket{B}\) に作用させると， \(\rho_i \ket{0}=0\)，\(\rho_i\ket{B}=0\) となることから \(\ket{0}\), \(\ket{B}\) は単独でゲージ不変な状態である．一方で \(\ket*{\uparrow}\) 及び \(\ket*{\downarrow}\) は，例えば 3成分に対して

\[ \rho_3\ket*{\uparrow}=\frac{1}{2}\ket*{\uparrow}\,, \]

\[ \rho_3\ket*{\downarrow}=-\frac{1}{2}\ket*{\downarrow} \]

となり，単独ではゲージ不変ではない．したがって，この場合には状態を Wilson 線でつないでゲージ不変にする必要がある．例えば，

\[ \sum_{m,l}\braket*{\frac{1}{2}l}{\frac{1}{2}m} \ket*{\frac{1}{2},m,n} |l\rangle =\sum_{m}\frac{\delta^l_m}{\sqrt{2}} \ket*{\frac{1}{2},m,n} |l\rangle \]

は，\(m\), \(l\) が定義されている頂点においてゲージ不変である．これは，Gauss の拘束条件 (10.1) を作用させることで確認できる．たとえば \(i=3\) 成分については，

\[ G_3\sum_{m}\frac{\delta^l_m}{\sqrt{2}} \ket*{\frac{1}{2},m,n} |l\rangle =\sum_{m}\frac{\delta^l_m}{\sqrt{2}}(-m+l) \ket*{\frac{1}{2},m,n} |l\rangle=0 \]

となる．したがって，\(\ket{0}\) に作用して頂点上でゲージ不変状態を生成する演算子は，

\[ U^m_n \chi^\dagger_m \]

である．

グラフィカルな表現

グラフィカルな表現として，\(U^m_n \chi^\dagger_m\) および \(B^\dagger\) に対応する図を

\[U^m_n \chi^\dagger_m:\] \[\qquad B^\dagger: \]

と表す．

次に，状態に演算子を作用させた結果を調べる．非自明な状態は，\(\chi^\dagger_m\) や \(B^\dagger\) を真空 \(\ket{0}\) に作用させることで生成される．これらの状態に作用する演算子は \(\chi^n\), \(\chi^\dagger_n\) であり，ゼロとならない関係は次の通りである： \[ \chi^m\ket{n} = \delta_n^m\ket{0}\,, \]

\[ \chi_m^\dagger\ket{n} = \epsilon_{mn}\ket{B}\,, \]

\[ \chi^m\ket{B} = \sum_n\epsilon^{mn}\ket{n}\,. \]

これを演算子の対応として書き直すと，

\[ \chi^m\chi^\dagger_n\sim \delta^m_n\,, \tag{10.2}\]

\[ \chi^\dagger_m\chi^\dagger_n=\epsilon_{mn} B^\dagger\,, \]

\[ \chi^m B^\dagger\sim [ \chi^m, B^\dagger] = \epsilon^{mn}\chi_n^\dagger\,, \]

\[ \chi^\dagger_m B^\dagger= 0 \]

である．ここで，\(\sim\)は，\(\ket{0}\) に作用させた時に等しくなるという意味である．例えば，式 (10.2)は，

\[ \chi^m\chi_n^\dagger\ket{0}= (\delta_n^m-\chi_n^\dagger\chi^m)\ket{0}= \delta_n^m\ket{0} \]

である．これらの関係を用いると，フェルミオンの合成ルールは，グラフィカルに

\[\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}}\]

\[ \tag{10.3}\]

\[\Rightarrow\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}\]

と書ける．ここで矢印「\(\Rightarrow\)」は，\(\chi^\dagger_n U^n_m \chi^m\) を作用させた操作に対応する．この演算子はホッピング項であり，始点のフェルミオンを終点へ移動させる作用を持つ．

状態への作用ホッピング項の作用

様々な状態に \(\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\) を作用させることを考えてみよう．ここでは，以下のような形で表される状態を考える:

\[,\quad\] \[,\quad\] \[,\quad\] \[\,.\]

\[ \tag{10.4}\]

ドット線は，自明なWilson線を表す．フェルミオンがない状態は，ドットの端点に何も書かないルールとする．また，ドット線はしばしば省略する．これらの状態に \(\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\) を作用させると，始点にあるフェルミオンが終点に移動する．例えば，式 (10.4) の左の状態に作用させると，

\[\quad=\quad\] \[\quad=\quad\]

となり，線が左に動く．一方，終点の方にフェルミオンがいる場合は，式 (10.3) と，F-moves (5.12) を用いて，

\[=\frac{1}{\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}}\]

\[=\frac{[F_c^{a\frac{1}{2}\frac{1}{2}}]_{b0}}{\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}}\]

\[=\delta_{ac}\,\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}\,[F_a^{a\frac{1}{2}\frac{1}{2}}]_{b0}\]

が得られる．同様に，

\[\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m \]

\[ =\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}\]

\[=\sum_{b}\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}[(F_{a}^{a\frac{1}{2}\frac{1}{2}})^{-1}]_{0b}\]

や

\[\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\]

\[=\]

\[=\sum_{b}[F^{0\frac{1}{2}}_{\frac{1}{2}0}]_{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}\]

\[ =\sum_{b}[F^{0\frac{1}{2}}_{\frac{1}{2}0}]_{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}\]

が得られる．

状態への作用ホッピング項の作用 (まとめ)

\[\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\]

\[=\] \[\,,\]

\[ \tag{10.5}\]

\[\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\]

\[=\delta_{ac} \sqrt{d_{\frac{1}{2}}}[F_a^{a\frac{1}{2}\frac{1}{2}}]_{b0}\]

\[=\delta_{ac}\qty( \delta_{a+\frac{1}{2},b}\sqrt{\frac{[2j_a+2]}{[2j_a+1]}} -\delta_{a-\frac{1}{2},b}\sqrt{\frac{[2j_a]}{[2j_a+1]}} )\] \[\,,\]

\[ \tag{10.6}\]

\[\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\]

\[=\sum_{b}\sqrt{d_{\frac{1}{2}}}[(F_{a}^{a\frac{1}{2}\frac{1}{2}})^{-1}]_{0b}\]

\[=\sum_b\qty(\sqrt{\frac{[2j_a+2]}{[2j_a+1]}}\delta_{a+\frac{1}{2},b}- \sqrt{\frac{[2j_a]}{[2j_a+1]}}\delta_{a-\frac{1}{2},b})\] \[\,,\]

\[ \tag{10.7}\]

\[\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\]

\[=[F^{0\frac{1}{2}}_{\frac{1}{2}0}]_{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}\]

\[=-\]

\[ \tag{10.8}\]

となる．その他の状態への \(\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m\) の作用は消える．同様の手続きで，

\[ (\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m)^\dagger\] \[=\] \[\,,\]

\[ \tag{10.9}\]

\[ (\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m)^\dagger\]

\[=\delta_{ac} \sqrt{d_{\frac{1}{2}}}[F_a^{a\frac{1}{2}\frac{1}{2}}]_{b0}\]

\[=\delta_{ac}\qty( \sqrt{\frac{[2j_a+2]}{[2j_a+1]}}\delta_{a+\frac{1}{2},b} - \sqrt{\frac{[2j_a]}{[2j_a+1]}}\delta_{a-\frac{1}{2},b} )\] \[\,,\]

\[ \tag{10.10}\]

\[ (\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m)^\dagger\]

\[=\sum_b \sqrt{d_{\frac{1}{2}}}[(F_{a}^{a\frac{1}{2}\frac{1}{2}})^{-1}]_{0b}\]

\[=\sum_b\qty( \sqrt{\frac{[2j_a+2]}{[2j_a+1]}}\delta_{a+\frac{1}{2},b} -\sqrt{\frac{[2j_a]}{[2j_a+1]}}\delta_{a-\frac{1}{2},b} )\] \[\,,\]

\[ \tag{10.11}\]

\[ (\chi^\dagger_n U^n_m\chi^m)^\dagger\]

\[= [F^{\frac{1}{2}0}_{0\frac{1}{2}}]_{\bar{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}}\]

\[-\]

\[ \tag{10.12}\]

が得られる．これらにより，フェルミオンの状態にハミルトニアンを作用させた時の遷移先が決まる．

10.1.1 例:　\(\mathrm{SU}(2)\) ゲージ理論 + 物質場

\(N\)サイト系を考える．頂点集合を \(\mathcal{V}=\{1,\cdots, N\}\)，辺の集合を　\(\mathcal{E}=\{(1,2),(2,3),\cdots, (N-1,N)\}\) とする．空間が1次元の場合，辺変数を頂点の添字で表す約束として，辺 \((n,n+1)\in\mathcal{E}\) にリンク変数 \(U(n)\)，同様に電場 \(E_i(n)\) を対応させる．するとスタッガードフェルミオンを持つ \(\mathrm{SU}(2)_k\) ゲージ理論のハミルトニアンは, \[ H =\frac{g^2}{2}\sum_{n\in \mathcal{V}}E_i^2(n) +t\sum_{n\in \mathcal{V}}(\chi^\dagger(n+1) U(n) \chi(n)+\chi^\dagger(n) U^\dagger(n) \chi(n+1)) +m\sum_{n\in \mathcal{V}}(-1)^{n} \chi^\dagger(n) \chi(n) \] と記述される．ここで \(\chi\) は2成分フェルミオン場，\(t\) はホッピングパラメータ，\(m\) は質量，\(g^2\) は結合定数である．

ハミルトニアンの状態への作用は，電場については式 (5.15), フェルミオンのホッピング項については，式 (10.5)-(10.12) で与えられる．質量項は，対角であるため簡単に評価できる．

2サイト系

ここでは例として，開放境界条件下の2サイト系を解析してみよう．この場合のハミルトニアンは \[ H=\frac{g^2}{2}E^2 + t{\chi}^\dagger_2U\chi_1+t{\chi}^\dagger_1U^\dagger \chi_2+m\chi^\dagger_1\chi^\dagger_1-m\chi^\dagger_2\chi^\dagger_2 \] である．この系は，バリオン数

\[ B=\frac{1}{2}(\chi^\dagger_1\chi_1+\chi_2^\dagger\chi_2)-1 \]

が保存する．\(1/2\) の因子は，バリオン数がクォーク数をカラーの数 (\(2\)) で割ったものであることに由来する．また，定数項 \(-1\) は，ハーフフィリング状態をバリオン数 \(0\) とするために加えてある．全 Hilbert 空間は \(2^4=16\) 次元だが，Gauss の拘束を満たす物理状態は \(5\) 次元に制限される．物理状態はバリオン数 \(B=-1,0,1\) によって分類でき，

\[B=-1:\] \[\,,\]

\[B=0:\] \[,\quad\] \[,\quad\] \[\,,\]

\[B=1:\]

となる．各セクターの Hilbert 空間次元は，\(B=\pm 1\) で \(1\)，\(B=0\) で \(3\) である．まず，\(B=\pm1\) にハミルトニアンを作用させると

\[H\] \[=0\,,\]

\[H\] \[=0\]

となる．いずれも固有値 \(0\) となる．

次に \(B=0\) のセクターを考える．電場項と質量項はいずれも対角であり，

\[\qty(\frac{g^2}{2}E^2 +m\chi^\dagger_1\chi^\dagger_1-m\chi^\dagger_2\chi^\dagger_2)\] \[=2m\] \[\,,\]

\[\qty(\frac{g^2}{2}E^2 +m\chi^\dagger_1\chi^\dagger_1-m\chi^\dagger_2\chi^\dagger_2)\] \[=\frac{3g^2}{8}\] \[\,,\]

\[\qty(\frac{g^2}{2}E^2 +m\chi^\dagger_1\chi^\dagger_1-m\chi^\dagger_2\chi^\dagger_2)\] \[=-2m\]

のように評価される．ホッピング項の作用は，

\[t\qty({\chi}^\dagger_2U\chi_1+{\chi}^\dagger_1U^\dagger \chi_2)\] \[=t\sqrt{2}\] \[\,,\]

\[t\qty({\chi}^\dagger_2U\chi_1+{\chi}^\dagger_1U^\dagger \chi_2)\] \[=t\sqrt{2}\]

となる．したがって，\(B=0\) セクターのハミルトニアンは，

\[ H_{B=0} = \begin{pmatrix} 2m & t\sqrt{2} & 0\\ t\sqrt{2} & \frac{3g^2}{8} & t\sqrt{2}\\ 0 & t\sqrt{2} & -2m \end{pmatrix} \]

と書ける．これを対角化することで固有エネルギーが得られる．特に：

\(g=0\) の場合

\[ E \;=\; 0,\quad \pm\,2\sqrt{m^{2}+t^{2}} \, . \]

\(m=0\) の場合

\[ E \;=\; 0,\quad \frac{3g^{2} \,\pm\, \sqrt{\,9g^{4}+1024t^{2}\,}}{16} \, . \]

Pythonでの実装

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
m = 1.0
t = 0.20

def H_matrix(g, m, t):
    return np.array([
        [2*m, t*np.sqrt(2), 0.0],
        [t*np.sqrt(2), 3*g**2/8.0, t*np.sqrt(2)],
        [0.0, t*np.sqrt(2), -2*m]
    ], dtype=float)

# g の範囲
g_vals = np.linspace(0.0, 4.0, 401)

# 固有値を計算
eigvals = np.empty((len(g_vals), 3))
for i, g in enumerate(g_vals):
    w = np.linalg.eigvalsh(H_matrix(g, m, t))  # 固有値（対称行列用）
    w.sort()
    eigvals[i, :] = w

# スペクトルを描画
plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.plot(g_vals, eigvals[:, 0], label="E1 (lowest)")
plt.plot(g_vals, eigvals[:, 1], label="E2")
plt.plot(g_vals, eigvals[:, 2], label="E3 (highest)")
plt.xlabel("g")
plt.ylabel("Energy eigenvalues E")
plt.title(f"Spectrum of $H_{{B=0}}$ vs coupling $g$ (m={m}, t={t})")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

10.2 \(\mathrm{SU}(3)\)

次に，\(\mathrm{SU}(3)\) の場合を考えよう． 3成分スピンレスフェルミオン場 \(\psi^n\) を考える．このとき，局所的な状態は8通り存在し，

\[ \begin{aligned} \ket{0} &\,,\\ \ket{_n} &= \psi^\dagger_n\ket{0}\,,\\ \ket{^n} &= [d^\dagger]^n\ket{0}\,,\\ \ket{B} &= B^\dagger \ket{0}\,,\\ \end{aligned} \]

であり，それぞれ　\(\bm{1}\)，\(\bm{3}\), \(\bar{\bm{3}}\), \(\bm{1}\) の表現に対応する．ここで，\(\ket{0}\) は，\(\psi_n\ket{0}=0\) となる状態である．演算子は次のように定義する：

\[ [d^\dagger]^l=\epsilon^{lmn}\psi^\dagger_m\psi^\dagger_n/2\,, \]

\[ B^\dagger =\epsilon^{mnl}\psi_m^\dagger \psi_n^\dagger \psi_l^\dagger/3!\,. \]

演算子の積は次を満たす：

\[ \psi_n^\dagger\psi_m^\dagger = \epsilon_{nml}[d^\dagger]^l \,, \]

\[ [d^\dagger]^m \psi_n^\dagger = \delta_n^m B^\dagger \,, \]

\[ \psi^n \psi_m^\dagger\sim \delta^n_m \,, \]

\[ \psi^n [d^\dagger]^m \sim \epsilon^{nml}\psi_l^\dagger \,, \]

\[ \psi^n B^\dagger \sim [d^\dagger]^n \,. \]

ここで，\(\sim\) は，これらの関係が \(\ket{0}\) に作用させたときに等しくなることを意味する．ゲージ場を繋いだ状態をグラフィカルに表現すると，以下のようになる：

\[\text{quark:}\] \[,\qquad \text{diquark:}\] \[,\qquad \text{baryon}\] \[\,.\]

以下，未完成．

さらに，これらのフェルミオンの合成ルールは，次のように図式的に表現できる：

\[\Rightarrow\sqrt{\frac{2}{3}}\] \(,\qquad\) \[\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}\] \(,\qquad\) \[\Rightarrow \sqrt{3}\] \(,\qquad\) \[\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\] \[\,.\]