8 Modular tensor categoryを用いたハミルトニアンゲージ理論
これまでボトムアップ的に理論を構成してきたが，ここではトップダウン的に理論を構成する． これまで扱った \(q\) 変形された格子ゲージ理論の構成に必要なデータとその代数は， unitary modular tensor category (UMTC) に含まれている. この代数は，トポロジカル秩序相を記述するエニオン模型でよく用いられる (Kitaev 2006). \(\mathrm{SU}(2)_k\) ゲージ理論で見たように，UMTCは，ゲージ理論を記述する上でも有用である． ここでの表記は，参考文献 (Barkeshli et al. 2019) に準じている．
8.1 代数構造
String type
Wilson 線の表現に対応する自由度．本稿では，\(a,b,c,\cdots\) で表現する．\(\mathrm{SU}(2)_k\) ゲージ理論の場合は，角運動量 \(j\) がそれに当たる． 一般に \(\mathrm{SU}(N)_k\) の場合は，最高ウェイトベクトルや Dynkin ラベルに対応する．
String orientations
表現 \(a\) に対して反表現が存在する．それを \(\bar{a}\) と書く．グラフィカルな表現では，
\[=\] 
と表す．
Branching rule
Wilson 線は合成することができ，合成した，\(3\) 点頂点が満たすべき状態のルール． Gaussの拘束条件に対応する． \(\mathrm{SU}(2)_k\) の時は，三角条件を満たす状態に対応する．
Fusionルールは，
\[ a\times b = \sum_{c}N_{ab}^{c}c \]
で，結合則 \[ \sum_e N_{ab}^{e} N_{ec}^{d} = \sum_f N_{af}^{d} N_{bc}^{f} \]
で，\(N_{ab}^c=N_{ba}^c=N_{b\bar{c}}^{\bar{a}}=N_{\bar{a}\bar{b}}^{\bar{c}}\) を満たす． ここで，\(N_{ab}^{c}\) は多重度と呼ばれ非負の整数である．
特別な場合として，\(0\) を自明な表現とすると，\(N_{a0}^{e}=N_{0a}^{e}=\delta_a^e\) となる．また，\(N_{a\bar{a}}^0=1\) である．
\(\bm{N}_a\) を行列の成分が \([\bm{N}_a]_b^c=N_{ab}^c\) で与えられる行列とみなした時，\(\bm{N}_a\) の最大固有値を \(d_a\) と書き，量子次元と呼ぶ．また，
\[ \mathcal{D}=\sqrt{\sum_{a}d_a^2} \]
を全量子次元と呼ぶ．\(d_a\) は一般に整数ではない点に注意． \(N_{ab}^c=N_{\bar{a}\bar{b}}^{\bar{c}}\) であるので，表現と反表現の量子次元は等しい \(d_{\bar{a}}=d_a\).
Wilson 線のネットワークは，ジャンクションを持つが，一般にジャンクションにも量子数 \(\mu\) が付与される．これは，状態の多重度 \(N_{ab}^c\geq2\) のときに状態を区別するためのラベルである:
\[, \] 
ここで． \(\mu\in\{1,2,\cdots, N_{ab}^c\}\) の値を取る． \(\mathrm{SU}(2)_k\) の場合は，\(N_{ab}^c\in\{0,1\}\) なので，このラベルは必要がない．
トポロジカルな変形ルールを以下にまとめる．
\[= \delta_c^{c'}\delta_{\mu}^{\mu'}\sqrt{\frac{d_ad_b}{d_c}}\] 
\[ \tag{8.1}\]
や
\[=\sum_{c,\mu}\sqrt{\frac{d_c}{d_ad_b}}\] 
\[ \tag{8.2}\]
また，\(F\)-symbol は, \([F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\) となり，
\[= \sum_{f,\rho,\sigma} [F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\] 
によって与えられ，
\[ [(F^{abc}_d)^{-1}]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)} =[(F^{abc}_d)^{\dag}]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)} =[F^{abc}_d]^{*}_{(f,\rho,\sigma)(e,\mu,\nu)} \]
や，ペンタゴン方程式
\[ \begin{split} &\sum_{\delta}[F_e^{fcd}]_{(g,\beta,\gamma)(l,\nu,\delta)} [F_e^{abl}]_{(f,\alpha,\delta)(k,\mu,\lambda)}\\ &\quad= \sum_{h,\sigma,\psi,\rho} [F^{abc}_g]_{(f,\alpha,\beta)(h,\psi,\sigma)} [F_{e}^{ahd}]_{(g,\sigma,\gamma)(k,\rho,\lambda)} [F^{bcd}_{k}]_{(h,\psi,\rho)(l,\nu,\mu)} \end{split} \]
を満たす． また，Wilson 線の交換に対応するブレイドは，
\[=\sum_{\nu}[R_c^{ab}]_{\mu\nu}\ \] 
と記述される．これらは，具体系は書かないが，\([R^{ab}]_{\mu\nu}\) と \(F\)-symbol は，無矛盾条件 (Hexagon equations) を満たす．
以下の量も導入しておくと便利である． \(S\) 行列は，
\[S_{ab}=\frac{1}{\mathcal{D}}\] 
である． これより，\(b=0\) にすると，\(S_{0a}=S_{a0}=d_a/\mathcal{D}\) が得られる． また，
\[=\frac{S_{ab}}{S_{0b}}\] 
\[ \tag{8.3}\]
が成り立つ．
式 (8.4) と同様に真空線を
\[=\frac{1}{\mathcal{D}}\sum_{a}d_a\] \[=\sum_{a}S_{a0}\]
\[ \tag{8.4}\]
で定義する． これは，正則表現のWilson線を \(\mathcal{D}\) で割ったものに対応する．
\[=\] 
\[ \tag{8.5}\]
を満たす．
真空線のループは
\[=\mathcal{D}\]
となり全量子次元に等しい． 真空線の合成より
\[=\mathcal{D}\] 
が成り立つ．
式 (8.3) を用いると真空線の周りのループは，
\[=\sum_b S_{b0}\] \[=\sum_{b}S_{ab}\]
となる．
\([F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\) は，\(d\to abc\) の分解 (または3つの表現の合成) に関するものであるが， 同様に \(cd\to ab\) の分解に関する \([F_{cd}^{ab}]_{(e,\alpha,\beta)(f,\mu,\nu)}\) も定義できる:
\[=\sum_{f,\mu,\nu}[F_{cd}^{ab}]_{(e,\alpha,\beta)(f,\mu,\nu)}\] 
\[\,.\]
これは， \[ [F^{ab}_{cd}]_{ef}=\sqrt{\frac{d_ed_f}{d_ad_d}}[F_f^{ceb}]^*_{(a,\alpha,\mu)(d,\beta,\nu)} \tag{8.6}\]
の関係がある．
これらの関係式を使って，いくつか便利な式を導出しよう． まず，表現 \(a\) の Wilon ループは，グラフィカルに
\[\tr U_a =\] 
と表される．中心の欠陥を取り除くと，ループを潰すことができて，
\[=d_a\]
\[ \tag{8.7}\]
が得られる．
表現 \(a\) と \(b\) を持つ2つのWilson loopを 式 (8.1) と (8.2) を用いて変形すると，
\[=\sum_{c}N_{ab}^c\] 
\[ \tag{8.8}\]
が得られる．
\[=\sum_{\mu,c}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_ad_b}}\] 
\[=\sum_{\mu,c}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_ad_b}}\] 
\[=\sum_{c,\mu}\frac{\sqrt{d_c}}{\sqrt{d_ad_b}}\frac{\sqrt{d_{\bar{b}} d_{\bar{a}}}}{\sqrt{d_{\bar{c}}}}\] \[=\sum_{c}N_{ab}^c\]
この図式は，Wilson ループの合成則
\[ \tr U_a \tr U_b = \sum_{c}N_{ab}^c\tr U_c \tag{8.9}\]
を導く． 式 (8.7) より，
\[ d_{a}d_{b} =\sum_{c}N_{ab}^c d_c \tag{8.10}\]
が得られる．さらに両辺に \(d_a\) をかけ，\(a\) について和を取ると，
\[ \mathcal{D}^2 d_{b} =\sum_{a,c}N_{ac}^{b} d_a d_c \tag{8.11}\]
が得られる．
以下未完成
8.2 Hilbert 空間
8.3 演算子の状態への作用
\[\Rightarrow\] 
\[\Rightarrow\] 
\[\Rightarrow\] 
\[\Rightarrow\] 
\[\Rightarrow\] 
\[\Rightarrow\] 
\[\Rightarrow\] 
\[\Rightarrow\] 