5 ハミルトニアン形式
5.1 Kogut–Susskind形式
格子上のゲージ理論のハミルトニアン形式は Kogut と Susskind によって1970年代に定式化された (Kogut and Susskind 1975)． 本節では格子上の \(\mathrm{SU}(N)\) Yang–Mills 理論のハミルトニアン形式について考える． 任意の格子について定式化できるが，ここではゲージ不変な物理状態の構成が容易なハニカム格子を扱う：
頂点の集合を \(\mathcal{V}\)，辺の集合を \(\mathcal{E}\) とする． 各辺は，向きを持ち，始点と終点が定められている． 辺 \(e\in\mathcal{E}\) に対して，その始点および終点を それぞれ \(\mathrm{s}(e)\in\mathcal{V}\) および \(\mathrm{t}(e)\in\mathcal{V}\) と書く．また，\(e\) の始点と終点を入れ替えた辺は \(\bar{e}\) と表す． 各六角形をプラケットと呼び，その集合を\(\mathcal{P}\)とする． 各プラケットは面であり，その境界をなす有向閉曲線（経路）を定める．例えば，
では，始点を \(e_1\) として， 経路は \(e_1 \to e_2 \to e_3 \to \bar{e}_4 \to \bar{e}_5 \to \bar{e}_6\) である．
以下では，物質場を含まないゲージ理論を考える． ゲージ場の自由度は，辺 \(e\in \mathcal{E}\) の上に定義され， その上の量子系は， 4.2 節で解説した \(\mathrm{SU}(N)\) とする． つまり，基本的な演算子は \(\ER_i(e)\), \(\EL_i(e)\), \(U_a(e)\) である． これらの正準交換関係は，
\[ [\ER_{i}(e),U_a(e')] =U_a(e) T_{ai}\delta_{e,e'}\,, \quad [\ER_{i}(e),\ER_{j}(e')]=\ri f^{k}_{~ij}\ER_{k}(e)\delta_{e,e'}\,, \tag{5.1}\]
\[ [\EL_{i}(e),U_a(e')] =T_{ai}U_{a}(e)\delta_{e,e'} \,,\quad [\EL_{i}(e),\EL_{j}(e')] =-\ri f^k_{~ij}\EL_{k}(e)\delta_{e,e'} \tag{5.2}\]
で与えられる．
プラケット \(p\) に沿った経路を \(e_1\to e_2\to e_3\to \bar{e}_4\to \bar{e}_5\to \bar{e}_6\) とし， その上の演算子 \(U(p)\) を
\[ U_a(p)\coloneqq U_a(\bar{e}_6)U_a(\bar{e}_5)U_a(\bar{e}_4)U_a(e_3)U_a(e_2)U_a(e_1) \]
と定義する．ここで，バーとバーなしの辺の演算子の対応は，\(U_a(\bar{e})=U^\dag_a(e)\) である． 同様に一般の閉じた経路に対して定義された \(U_a\) からなる演算子は表現 \(a\) の Wilson ループと呼ばれる．以下，表記の簡略として基本表現の場合は添字 \(a\) を省略し，\(U(e)\coloneqq U_{\mathrm{fund}}(e)\) や \(U(p)\coloneqq U_{\mathrm{fund}}(p)\) と表す． ハミルトニアン \(H\) は，この \(U(p)\) と電場の2乗 \(E^2(e)\) を用いて，
\[ H=\sum_{e\in {\mathcal{E}}}\frac{1}{2}E^2(e) -\frac{K}{2}\sum_{p\in \mathcal{P}}(\tr U(p)+\tr U^\dag(p) ) \tag{5.3}\]
と定義される．ここで，\(K\) は結合定数である． 電場項について独立な結合定数を導入してもよいが，エネルギーの単位のスケールを調整することで \(1\) に取ることができる．
5.2 ゲージ不変性
ある頂点 \(v\in \mathcal{V}\) に対するゲージ変換の生成子を
\[ G_i(v)\coloneqq \sum_{e\in \mathcal{E}| \mathrm{s}(e)=v}\ER_{i}(e)-\sum_{e\in \mathcal{E}| \mathrm{t}(e)=v}\EL_{i}(e) \]
と定義する． この演算子は，頂点が始点になっている辺に対して \(\ER_i\) を，終点になっている辺に対して，\(-\EL_i\) を割り当て，和を取ったものである． 交換関係は \([G_i(v),G_j(v)]=\ri f^k_{~ij}G_k(v)\) を 満たし，Lie代数をなす． 有限のゲージ変換はゲージ変換パラメータを \(\theta^i(v)\) として， \(V=e^{\ri\sum_{v\in\mathcal{V}}\theta^i(v)G_i(v)}\) で表すことができる．この変換のもとで，\(U_a(e)\) は，
\[ U_a(e)\to V U_a(e)V^\dag = D_a^\dag(\mathrm{t}(e))U_a(e)D_a(\mathrm{s}(e)) \tag{5.4}\] と変化する．ここで，\(D_a(v) = \exp(\ri \theta^i(v)T_{ai})\) は表現行列である． 同様に \(\ER_i(e)\) や \(\EL_i(e)\) は，
\[ \ER_i(e)\to V \ER_i(e) V^\dag = [D_\mathrm{adj}(\mathrm{s}(e))]^j_i\ER_j(e),\quad \EL_i(e)\to V \EL_i(e) V^\dag = [D^\dag_\mathrm{adj}(\mathrm{t}(e))]^j_i\EL_j(e) \tag{5.5}\]
と変換される．
ハミルトニアンは，ゲージ変換 (5.4) および (5.5)， すなわち，ハミルトニアンとゲージ変換の生成子は可換であり，\([H,G_i(v)]=0\) が成り立つ． これはゲージ対称性またはゲージ不変性と呼ばれる． ゲージ対称性は形式的には対称性の一種であるが，実際には理論を記述する冗長性とみなされる． したがって，物理量はゲージ不変なものに限られ，状態もゲージ不変であることが要求される．
ゲージ変換のもとで，一般の状態 \(\ket{\Psi}\) は， \[ \ket{\Psi}\to e^{\ri\sum_{v\in\mathcal{V}}\theta^i(v)G_i(v)}\ket{\Psi} \tag{5.6}\]
と変換する．物理状態は任意の \(\theta^i(v)\) に対して不変である必要があるので，微小変換のもとでの不変性，つまり，すべての \(v\in\mathcal{V}\) に対して，Gauss の拘束条件
\[ G_i(v)\ket*{\Psi}=0 \tag{5.7}\]
を満たす必要がある．逆に式 (5.7) を満たせば，状態は式 (5.6) の変換のもとで不変である． 以後，本稿では，式 (5.7) を満たす \(\ket{\Psi}\) を物理状態と呼ぶ．
5.3 物理状態の構成
物理状態は，Gauss の拘束条件 (5.7) を満たす必要があるが， 格子上では，電気的基底を用いることで比較的容易に構成できる． \(G_i(v)\) は Lie代数の生成子であり，式 (5.7) は，頂点において，状態が表現の1重項になることを要請している． ここでは，ハニカム格子を考えているので\(3\)点頂点を考えれば十分である．頂点を\(v\)とし，それが 辺 \(e_1\), \(e_2\) の始点，\(e_3\) の終点になっている場合を考える：
すなわち，\(\mathrm{s}(e_1)=\mathrm{s}(e_2)=\mathrm{t}(e_3)=v\) である． このとき，状態 \(\ket*{a,m_a,n_a}_1\ket*{b,m_b,n_b}_2\ket*{c,m_c,n_c}_3\) に対して，Clebsch–Gordan 係数 \(\braket{a,n_a;\, b,n_b}{c,m_c;\mu}\) を用いると
\[ \ket*{\varphi}=\sum_{n_a,n_b,m_c}\frac{1}{\sqrt{d_c}} \braket{a,n_a;\, b,n_b}{c,m_c;\mu} \ket*{a,m_a,n_a}_1\ket*{b,m_b,n_b}_2\ket*{c,m_c,n_c}_3 \tag{5.8}\]
という線形結合が得られ，これは，\(G_i(v)\ket{\varphi}=0\) を満たす． ここで，\(1/\sqrt{d_c}\) は \(\braket{\varphi}{\varphi}=1\) を保証するための規格化因子である．
一般に，各頂点に Clebsch–Gordan 係数を割り当てれば，Gauss の拘束条件を満たす物理状態を構成することができる． 結果として，物理的な基底は，
\[ \tag{5.9}\]
のように，辺に表現，頂点に多重度のラベルを付与した表現のネットワークで表される． ただし任意の表現が許されるわけではなく，Clebsch–Gordan 係数が非零となる組み合わせのみが許される．
5.4 状態と演算子のグラフィカルな表現
ここで状態と演算子に関して，グラフィカルな表現を導入する． 式 (4.8) より状態と \(U_a\) には対応関係があり，\(\sqrt{d_a}U_a\) に表現 \(a\) のラベルを持った向きのある線を対応させる:
\[= \sqrt{d_a}U_a\,.\]
逆向きの矢印には，\(\sqrt{d_a}U_a^\dag\) を対応させる．
頂点については，
\[= \braket{a,n_a;\, b,n_b}{c,m_c;\mu}\frac{1}{\sqrt{d_c}}\,, \]
\[= \braket{c,n_c;\mu}{a,m_a;\, b,m_b}\frac{1}{\sqrt{d_c}} \]
と Clebsch–Gordan 係数を対応づける． これにより，式 (4.6) などに対応して，
\[= \sum_{c,\mu}\sqrt{\frac{d_c}{d_ad_b}}\] 
\[\,,\]
\[ \tag{5.10}\]
\[= \delta_c^{c'}\delta_{\mu}^{\mu'}\sqrt{\frac{d_ad_b}{d_c}}\] 
\[ \tag{5.11}\]
を得る．ここで内線の添字は縮約するものとする． さらに3つの \(U_a\) の積の順番を考慮していくと
\[= \sum_{f,\rho,\sigma} [F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\] 
\[ \tag{5.12}\]
の関係も導かれる．ここで\([F^{abc}_d]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\)は，\(F\)-symbol と呼ばれるユニタリ行列である．
辺 \(1\), \(2\) について，次の演算子を考える：
\[ \sum_{l_b,l_e,n_e,n_c} \braket{a,m_a; b,l_b}{e, l_e;\mu} \braket{e,n_e; c,n_c}{d, n_d;\nu} [U_{b}(1)]^{m_b}_{l_b}[U_{e}(2)]^{l_e}_{n_e} [U_{c}(1)]^{m_{c}}_{l_c} [U_{c}(2)]^{l_c}_{n_{c}} \,. \]
式 (4.6) を用いて，\(U\)を合成し，項を整理すると
\[ \begin{split} &\sum_{l_b,l_e,l_c,n_e,n_c} \braket{a,m_a; b,l_b}{e, l_e;\mu}\braket{e,n_e; c,n_c}{d, n_d;\nu} [U_{b}(1)]^{m_b}_{l_b} [U_{e}(2)]^{l_e}_{n_e}[U_{c}(1)]^{m_{c}}_{l_c} [U_{c}(2)]^{l_c}_{n_{c}}\\ &=\sum_{l_b,l_e,l_c,n_e,n_c} \braket{a,m_a; b,l_b}{e, l_e;\mu}\braket{e,n_e; c,n_c}{d, n_d;\nu}\\ &\quad \times \sum_{f,m_f,n_f,\rho} \braket{b,m_b; c,m_c}{f,m_f;\rho} \braket{f,n_f;\rho}{b,l_b; c,l_c} [U_f(1)]^{m_f}_{n_f}\\ &\quad \times \sum_{g,m_g,n_g,\lambda}\braket{e,l_e; c,l_c}{g,m_g;\lambda} \braket{g,n_g;\lambda}{e,n_e; c,n_c} [U_{g}(2)]^{m_g}_{n_g}\\ &=\sum_{f,m_f,n_f,\rho}\sum_{g,m_g,n_g,\lambda} \sum_{l_b,l_e,l_c} \braket{f,n_f;\rho}{b,l_b; c,l_c} \braket{a,m_a; b,l_b}{e, l_e;\mu} \braket{e,l_e; c,l_c}{g,m_g;\lambda}\\ &\quad \times \sum_{n_e,n_c} \braket{g,n_g;\lambda}{e,n_e; c,n_c}\braket{e,n_e; c,n_c}{d, n_d;\nu}\\ &\quad \times \braket{b,m_b; c,m_c}{f,m_f;\rho}[U_f(1)]^{m_f}_{n_f}[U_{g}(2)]^{m_g}_{n_g} \end{split} \]
を得る．最後の等号の１行目の式に，式 (3.10) を用い，2行目に， 式 (3.6) を用いると，
\[ \begin{split} &\sum_{l_b,l_e,n_e,n_c} \braket{a,m_a; b,l_b}{e, l_e;\mu} \braket{e,n_e; c,n_c}{d, n_d;\nu} [U_{b}(1)]^{m_b}_{l_b}[U_{e}(2)]^{l_e}_{n_e} [U_{c}(1)]^{m_{c}}_{l_c} [U_{c}(2)]^{l_c}_{n_{c}}\\ &=\sum_{f,\rho,\sigma} [F_d^{abc}]_{(e,\mu,\nu)(f,\rho,\sigma)}\\ &\quad \times\sum_{m_d,m_f,n_f} \braket{a,m_a;\,f,n_f}{d,m_d;\sigma} \braket{b,m_b; c,m_c}{f,m_f;\rho}[U_f(1)]^{m_f}_{n_f}[U_{d}(2)]^{m_d}_{n_d}\\ \end{split} \tag{5.13}\]
が得られる． この関係式 (5.13) に適切に\(U\)を結合させ，規格化因子を考慮すると， 式 (5.12) の図式が得られる．
5.5 ゲージ不変な基底による\(\mathrm{SU}(N)\) Yang-Mills 理論
ハミルトニアン
ハミルトニアンは 式 (5.3) により， \[ H=\sum_{e\in {\mathcal{E}}}\frac{1}{2}E^2(e) -\frac{K}{2}\sum_{p\in \mathcal{P}}(\tr U(p)+\tr U^\dag(p) ) \tag{5.14}\]
と与えられる．
物理状態
Gauss の拘束条件を満たす基底は，各辺 (\(e\in \mathcal{E}\)) に既約表現 \(a_e\) を割り当て，各頂点 (\(v\in \mathcal{V}\)) に 多重度 \(\mu_v\) を付与した状態で，Clebsch–Gordan 係数が消えない組み合わせによって構成される． この基底を \(\ket右{\bm{a};\symbf{\mu}}\) と記す． グラフィカルには，式({5.9}) で表せる．
一般的な状態は，この基底の線形結合として
\[ \ket{\psi} = \sum_{\bm{a},\symbf{\mu}}\psi(\bm{a},\symbf{\mu})\ket{\bm{a};\symbf{\mu}} \]
と表される．
ハミルトニアンの状態への作用
\(\tr U_{d}\) の作用は，\(F\)-symbol を用いて次のように表される：
\[\tr U_{d}\] 
\[=\sum_{\{a'_{i},\mu'_i\}}\prod_{i=1}^{6}
[F_{a'_{i}}^{c_{i}a_{i-1}d}]_{(a_{i},\mu_i,\mu_{i+1}),({a'}_{i-1},\mu'_{i-1},\mu'_{i})}\] 
ここで， \(a'_0=a'_6\), \(\mu_0=\mu_6\), \(\mu'_0=\mu'_6\), および \(\mu'_7=\mu'_1\) である． 一方，電気的基底を用いているため，\(E^2\) の作用は，
\[E^2 \] \[=C_2(a)\]
\[ \tag{5.15}\]
である．これにより，状態にハミルトニアンを作用させたときの遷移先が定まる． ここでは \(\mathrm{SU}(N)\) ゲージ理論を念頭に定式化したが，一般のコンパクト Lie 群に対しても，\(C_2(a)\) および \(F\)-symbol を適切に選ぶことで同様の議論が成り立つ． また，有限群の場合も，電場項を適切に修正すれば同様の構成が可能である．
5.6 一般の格子上での取扱い
ここまでは，すべての頂点が3点であるハニカム格子上のゲージ理論を考えてきた：
ここでは，辺の向きを示す矢印は省略してある． 頂点が3点であるため，Gauss の拘束条件は Clebsch–Gordan 係数を用いて容易に解くことができた． では，頂点が4点以上の場合にはどのように解けばよいだろうか． まず，各頂点が4点である正方格子を例に取ろう：
Gauss の拘束条件は，4つの表現を合成して1重項を構成する問題に帰着する． しかし，いきなり4つを同時に合成するのではなく，まず2つずつ合成してから順に組み合わせていくことができる． これはグラフの言葉では，補助リンクを導入して各頂点を3点に分解し，問題を考えることに対応する：
\[ \Rightarrow \] 
赤線が補助リンクに対応しており，これを潰すと元の正方格子に戻る． このグラフの各頂点に Clebsch–Gordan 係数を対応させれば，ゲージ不変な状態を構成できる． 逆にハニカム格子を考え，電場の演算子が黒線のみに作用するようにすれば，これは正方格子上のゲージ理論と等価になる．
補助線の入れ方には任意性がある．別の補助線の導入では次のようになる：
\[ \Rightarrow \] 
\(F\)-symbol の性質により，Wilson 線の作用は補助線の入れ方に依存しない． したがって，理論そのものも補助線の取り方には依存しないことがわかる． より複雑な格子についても，補助線を導入して各頂点を3点に分解すれば，同様に取り扱うことができる．