2 \(\mathrm{SU}(2)\)群の復習
本稿では，\(\mathrm{SU}(N)\)群（およびその量子群変形）ゲージ理論について取り上げる． その準備として，スピン角運動量の対称性群である \(\mathrm{SU}(2)\)群とその表現およびスピンの合成について簡単に復習する． 次節で，その結果を\(\mathrm{SU}(N)\)群へ拡張する． Lie群の表現論や群上の量子論を習熟している読者は，本節を読み飛ばし， 5 節に進んでもらって差し支えない．
2.1 \(\mathrm{SU}(2)\)群
まず，スピン角運動量の対称性である \(\mathrm{SU}(2)\)群は，複素2次元ベクトル空間の内積を保ち，かつ行列式が \(1\) である変換全体からなる群である． 2つの複素2次元ベクトル
\[ w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}, \quad z = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \]
に対して，変換 \(w\mapsto g w\), \(z\mapsto gz\) のもとで，内積 \((w,z) \coloneqq w^\dag z\) は， 次のように変換される:
\[ (w,z)\mapsto (gw,gz) = (w,g^\dag g z) \,. \]
ここで，\(g\) は，\(2 \times 2\) 複素行列で，\(\dag\) はエルミート共役を表す． この変換で内積が不変となるためには，\(g^\dag g=\mathbf{1}_2\) を満たす必要がある． ここで，\(\mathbf{1}_2\) は \(2 \times 2\) の単位行列
\[ \mathbf{1}_2\coloneqq\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
である． また，行列式が1である条件から，\(\det g=1\) が要求される． したがって，\(\mathrm{SU}(2)\)群は次のように表される:
\[ \mathrm{SU}(2) \coloneqq \left\{ g=\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\beta^* & \alpha^* \end{pmatrix}\in \mathrm{GL}(2,\mathbb{C})\Bigl| |\alpha|^2+|\beta|^2=1 \right\} \,. \]
ここで，\(\mathrm{GL}(2,\mathbb{C})\) は，2次元複素線形群（すなわち、\(2 \times 2\) の正則な複素行列全体からなる群）を表す． \(\alpha\), \(\beta\) が取りうる空間は条件 \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\) により3次元球面 \(S^3\) と同一視される．
2.2 Pauli 行列による表現
パラメータを \(\alpha=a_0 + \ri a_3\), \(\beta=a_1 + \ri a_2\) と置き，Pauli 行列
\[ \sigma_1 \coloneqq \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_2 \coloneqq \begin{pmatrix} 0 & -\ri\\ \ri & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_3 \coloneqq \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tag{2.1}\]
を導入する．このとき，\(\mathrm{SU}(2)\)群の元 \(g\) は，次のように表される:
\[ g = a_0 \mathbf{1}_2 +\ri\symbf{\sigma}\cdot \bm{a} \,. \]
ここで，\(\bm{a} = (a_1, a_2, a_3)^T\) は実ベクトルであり，パラメータは \(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2=1\) を満たす． さらに3次元単位ベクトル \({\bm{n}}\) を導入すると，\(g\) は次のようにも表せる:
\[ g= \mathbf{1}_2\cos\frac{\theta}{2}+\ri{\bm{n}}\cdot\symbf{\sigma}\sin\frac{\theta}{2}=\exp(\ri\frac{\theta}{2}{\bm{n}}\cdot\symbf{\sigma} ) \,. \tag{2.2}\]
ここで，\(\theta\) は，\(0\) から \(2\pi\) を動く実パラメータである． ただし，\(\theta\to\theta+2\pi\) で \(g\to -g\) となるため，群としての周期は \(4\pi\) である． \(\bm{n}\) を極座標表示すると
\[ n_1=\cos\varphi\sin\psi,\quad n_2=\sin\varphi\sin\psi,\quad n_3=\cos\psi \,. \tag{2.3}\]
と表せる． ただし，\(0\leq\varphi\leq 2\pi\), \(0\leq\psi\leq \pi\) を満たす． 式 (2.2) において，\(\theta_i=\theta n_i\) と置き，\(T_i=\sigma_i/2\) と定義すると，
\[ g= \exp(\ri T_i\theta^i) \tag{2.4}\]
の指数表示が得られる． また，次のユニタリ行列
\[ \mathcal{U}_{\bm{n}}= \begin{pmatrix} \cos\frac{\psi}{2} & -e^{-\ri\varphi}\sin\frac{\psi}{2}\\ e^{\ri\varphi}\sin\frac{\psi}{2} & \cos\frac{\psi}{2} \end{pmatrix} \]
を用いると，以下の関係が成り立つ:
\[ {\bm{n}}\cdot \symbf{\sigma} = \mathcal{U}_{\bm{n}}\sigma_3\mathcal{U}_{\bm{n}}^{-1} \,. \]
したがって，\(\mathrm{SU}(2)\)群の元は，次のように書くことができる:
\[ g = \mathcal{U}_{\bm{n}}e^{\ri\frac{\theta}{2}\sigma_3}\mathcal{U}_{\bm{n}}^{-1} \,. \]
この表示は，共役類を考える場合や，\(\mathrm{SU}(2)\)群と\(\mathrm{SO}(3)\)群の対応を考える場合に有用な表示である．
2.3 \(\mathrm{SU}(2)\)群のLie代数
式 (3.1) において，単位元近傍で展開すると \(\theta_i\ll 1\) として，
\[ g= 1+\ri T_i\theta^i + \order{\theta^2} \]
となる． したがって，単位元近傍での無限小変換は，接空間に属し，これが Lie代数を与える． 実際，\(T_i\) は，次の交換関係を満たす：
\[ [T_i,T_j]=\ri f^k_{~ij}T_k \,. \tag{2.5}\]
ここで，\(f^k_{~ij}\) は構造定数であり，完全反対称テンソル (Levi-Civita記号) \(\epsilon_{ijk}\) を用いて，\(f^k_{~ij}=\epsilon_{ijk}\) と表される． このLie代数を \(\mathfrak{su}(2)\) と書く．
より一般に，抽象的な生成子 \(J_i\) を用いて
\[ g=\exp(\ri J_i\theta^i), \qquad [J_i,J_j]=\ri f^i_{~ij}J_k \tag{2.6}\]
と書ける．これは，スピン角運動量演算子に他ならない． \(T_i=\sigma_i/2\) は \(J_i\) の基本表現（スピン \(1/2\) 表現）に対応する． スピン \(1,3/2,\dots\) の表現では \(J_i\) はより大きな行列として実現される．
2.4 \(\mathrm{SU}(2)\)群の表現
\(\mathrm{SU}(2)\)群は単連結なコンパクトLie群であるため，その有限次元ユニタリ表現はLie代数 \(\mathfrak{su}(2)\) の有限次元表現と1対1対応する． したがって，群の表現を理解するにはLie代数の表現を調べれば十分である． 以下では，両者の違いを混乱の恐れがない限り区別せずに用いる． また，この節では，\(\mathrm{SU}(2)\)群の表現の導出は行わず基本的な結果のみを紹介する． 導出については，標準的な群論の教科書（例えば(Georgi and 九後 2010)）を参照． (Martin-Dussaud 2019) も参考になる． 表現を議論するのに昇降演算子 \(J_{\pm}\coloneqq J_1\pm\ri J_2\) 及び，\(J_0\coloneqq J_3\) を定義しておく便利である． これらの交換関係は，式 (2.6) より，
\[ ~[J_0,J_{\pm}] = \pm J_\pm,\quad [J_+,J_-] = 2 J_0 \]
となる．2次の Casimir 演算子 \(J^2\) は，
\[ J^2=\sum_{i=1}^3J_i^2=J_+J_-+J_0^2-J_0=J_-J_++J_0^2+J_0 \]
と表すことができる．\(J^2\)はすべての\(J_i\)と可換である．
\(\mathrm{SU}(2)\)群の有限次元既約表現は \(J^2\) と \(J_3(=J_0)\) の同時固有状態 \(\ket*{j,m}\) を用いて表すことができる． ここで，状態の内積は，
\[ \bra{j,m}\ket{j',m'}=\delta^{j}_{j'}\delta^{m}_{m'} \]
と規格化されているものとする． この状態は，\(J^2\) と \(J_3\) の固有状態に選んであることから
\[ \begin{aligned} J^2\ket*{j,m} &= C_2(j)\ket*{j,m} =j(j+1)\ket*{j,m}\,,\\ J_3\ket*{j,m} &= m\ket*{j,m} \end{aligned} \]
を満たす．昇降演算子を状態に作用させると
\[ J_{\pm}\ket*{j,m} = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\ket*{j,m\pm1} \]
となる． \(j\)は，\(j\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}_{\geq 0}\) の非負の整数，半整数の値を取り，\(m\) は \(m=-j,-j+1,\cdots j-1,j\) の値を取る．以下，表現 \(j\) に付随した\((2j+1)\eqqcolon d_j\) 次元の有限次元複素 Hilbert 空間を \(\mathcal{Q}_j\) と表す．
2.5 Wignerの\(D\)行列
\(\mathrm{SU}(2)\)の元 \(g\) に対応した演算子を
\[ U_g=\exp(\ri\theta^i J_i) \]
と書くことにする． Wigner の \(D\) 行列（表現行列）は，\(U_g\) の状態 \(\ket{j,m}\) への作用を表すものである:
\[ [D_j]^m_n(g)\coloneqq \bra{j,m}U_g\ket{j,n} \,. \tag{2.7}\]
Lie代数の表現 \(j\) に対する行列要素 \([T_{ji}]^m_{n} \coloneqq \bra{j,m}J_i\ket{j,n}\) を導入すると，
\[ [D_j(g)]^m_{n} = [\exp(\ri\theta^i T_{ji})]^{m}_{n} \]
と表せる． \([D_j(g)]^m_{n}\)はユニタリ行列なので，\(g\)の逆元を\(\bar{g}\)とすると，
\[ [D_j(\bar{g})]^m_n= [D^{-1}_j({g})]^m_n=[D^\dag_j(g)]^m_n= [D^*_j(g)]^n_m \]
を満たす．また，この行列は，
\[ \int\dd{g} [D_{j'}^{\dagger}]^{m'}_{n'}(g) [D_j]^m_n(g) = \frac{1}{d_j}\delta_{j,j'}\delta^{m}_{n'}\delta^{m'}_{n} \tag{2.8}\]
の直交性関係を満たす．ここで \(\dd{g}\) は，\(\int\dd{g}=1\) に正規化された \(\mathrm{SU}(2)\)群の Haar 測度である（詳細は， A.2 節参照）．
2.6 表現の合成
次に2つの既約表現(角運動量) \(j_a\) と \(j_b\) の合成を考える．本稿では，しばしば表現のラベルに \(a,b,c,d,\cdots\) を用いる． 表現の添字は，\(\mathcal{Q}_{j_a}\) や \(j\) を略して \(\mathcal{Q}_{a}\) と書くことがある． 2つの既約表現を合成（直積）するとそれは既約表現の直和に分解する:
\[ \mathcal{Q}_{j_{a}}\otimes \mathcal{Q}_{j_{b}} = (\mathcal{Q}_{j_{a}+j_{b}})\oplus \mathcal{Q}_{j_{a}+j_{b}-1}\oplus\cdots \oplus \mathcal{Q}_{|j_{a}-j_{b}|} =\bigoplus_cN_{ab}^{c}\mathcal{Q}_{c} \,. \]
ここで \(N_{ab}^{c}=\delta_{abc}\) で
\[ \delta_{abc}\coloneqq \begin{cases} 1 & j_{a}+j_{b}\geq j_{c}, j_{b}+j_{c}\geq j_{a}, j_{c}+j_{a}\geq j_{b}, \text{かつ} j_{a}+j_{b}+j_{c}\in\mathbb{Z}\\ 0 & \text{その他} \end{cases} \tag{2.9}\]
を導入した．\(N_{ab}^{c}\) は fusion 係数またはテンソル積係数と呼ばれる． 本稿では，\(\delta_{abc}=1\) を満たす \(j_a,j_b,j_c\)を，\(j_a,j_b,j_c\) が三角条件を満たすという． 例えば，\(j_a=1\) と \(j_b=1/2\) とすると，三角条件を満たす \(j_c\) は，\(3/2\) または，\(1/2\) となる．したがって，
\[ \mathcal{Q}_{1}\otimes \mathcal{Q}_{\frac{1}{2}} \simeq \mathcal{Q}_{\frac{3}{2}}\oplus \mathcal{Q}_{\frac{1}{2}} \]
となり，\(N^c_{\frac{1}{2}1}\) は，
\[ N_{1\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}=1,\quad N_{1\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=1 \]
で他の \(c\) についてゼロとなる．
3つの表現の合成（直積）は \(\mathcal{Q}_{a}\otimes (\mathcal{Q}_{b}\otimes \mathcal{Q}_{c})\simeq (\mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b}) \otimes \mathcal{Q}_{c}\) を満たす．これに対応して，fusion 係数は，
\[ \sum_{d}N_{ad}^{f}N_{bc}^{d}= \sum_{d}N_{ab}^{d}N_{dc}^{f} \]
を満たす．
次に具体的に表現を合成しよう．表現 \(j_a\), \(j_b\) を合成し \(j_c\) を作ったとする．そのときのベクトル \(\ket*{(j_aj_b)j_c,m_c}\) は，
\[ \ket*{(j_aj_b)j_c,m_c} = \sum_{m_a,m_b}\ket*{j_a,m_a} \ket*{j_b,m_b}\braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c} \tag{2.10}\]
と表せる．ここで， \(\braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c}\) は Clebsch–Gordan 係数である． \(j_c\) および \(m_c\) が取りうる値は \(j_c\in \{|j_a-j_b|,|j_a-j_b|+1,\cdots, j_a+j_b\}\) 及び，\(m_c\in\{-j_c,-j_c+1,\cdots, j_c\}\) である． 式 (2.10) は，\(\mathcal{Q}_{c}\to \mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b}\) の写像を与える． つまり，\(\ket{v}=\sum_{m_c}v^{m_c}\ket{j_cm_c}\in \mathcal{Q}_{c}\)を \(\sum_{m_a,m_b,m_c}\ket*{j_a,m_a} \ket*{j_b,m_b}\braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c}v^{m_c}\in \mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b}\) に移す．
また，
\[ \begin{aligned} (J_{a3}+J_{b3})\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} &= m_c\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} \,,\\ (J_{a}+J_{b})^2\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} &= j_c(j_c+1)\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} \,,\\ J_{ai}^2\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} &= j_a(j_a+1)\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} \,,\\ J_{bi}^2\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} &= j_b(j_b+1)\ket*{j_aj_b;j_c,m_c} \end{aligned}\] を満たす．ここで，\((J_{a}+J_{b})^2=\sum_{i=1}^3(J_{ai}+J_{bi})^2\) である． 逆に直積状態は，
\[ \ket*{j_a,m_a} \ket*{j_b,m_b}= \sum_{j_c,m_c} \ket*{(j_aj_b)j_c,m_c} \braket{j_c,m_c}{j_a,m_a;\, j_b,m_b} \]
と表せる． \(\mathrm{SU}(2)\) のClebsch–Gordan 係数は，通常， \(\braket{j_c,m_c}{j_a,m_a;\, j_b,m_b}=\braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c}^*=\braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c}\) を満たすように位相が選ばれている． また，Clebsch–Gordan 係数は，直交性関係
\[ \sum_{m_a,m_b} \braket{j_d,m_d}{j_a,m_a;\, j_b,m_b} \braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c} =\delta_{j_c}^{j_d}\delta_{m_c}^{m_d}\,, \tag{2.11}\]
\[ \sum_{j_c}\sum_{m_c} \braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c} \braket{j_c,m_c}{j_a,m'_a;\, j_b,m'_b} =\delta^{m_a}_{m'_a}\delta^{m_b}_{m'_b} \tag{2.12}\]
を満たす．
また，Clebsch–Gordan 係数は不変テンソルになっている．つまり，
\[ \braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c}=\sum_{m'_a,m'_b,m'_{c}} [D^\dag_{j_c}(g)]_{m_c}^{m'_c}[D_{j_a}(g)]^{m_a}_{m'_a}[D_{j_b}(g)]^{m_b}_{m'_b} \braket{j_a,m'_a;\, j_b,m'_b}{j_c,m'_c} \]
を満たす．
Wigner \(3\)-\(j\) シンボル \(\begin{psmallmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m_a & m_b & m_c \end{psmallmatrix}\) を用いると，Clebsch–Gordan 係数は，
\[ \braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_c,m_c} =(-1)^{j_{a}-j_{b}+m_{c}}\sqrt{d_c} \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m_a & m_b & -m_c \end{pmatrix} \tag{2.13}\]
と表すことができる．
本稿では，あまり使わないが， Wigner \(3\)-\(j\) シンボルは Clebsch–Gordan 係数より対称性が高く， 便利なことが多い． Wigner \(3\)-\(j\) シンボルは，偶置換に関して，不変
\[ \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m_a & m_b & m_c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} j_b & j_c & j_a\\ m_b & m_c & m_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_c & j_a & j_b\\ m_c & m_a & m_b \end{pmatrix} \]
であり，奇置換に対して，
\[ \begin{split} \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m_a & m_b & m_c \end{pmatrix} &=(-1)^{j_a+j_b+j_c} \begin{pmatrix} j_a & j_c & j_b\\ m_a & m_c & m_b \end{pmatrix} =(-1)^{j_a+j_b+j_c} \begin{pmatrix} j_b & j_a & j_c\\ m_b & m_a & m_c \end{pmatrix}\\ &=(-1)^{j_a+j_b+j_c} \begin{pmatrix} j_c & j_b & j_a\\ m_c & m_b & m_a \end{pmatrix} \end{split} \label{eq-Wigner3joddperm} \]
となる．また\(m\)の反転に対し，
\[ \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ -m_a & -m_b & -m_c \end{pmatrix} =(-1)^{j_a+j_b+j_c}\begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m_a & m_b & m_c \end{pmatrix} \]
となる性質を持つ．値は，\(j_a\), \(j_b\), \(j_c\) が三角条件を満たすとき \(\delta_{abc}=1\) のみ非ゼロで，他はゼロとなる． 直交性関係は，
\[ \begin{aligned} (2j_c+1)\sum_{m_a,m_b} \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m_a & m_b & m_c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_d\\ m_a & m_b & m_d \end{pmatrix}&=\delta_{j_c,j_d}\delta_{m_c,m_d} \,, \\ \sum_{j_c,m_c}(2j_c+1) \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m_a & m_b & m_c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_a & j_b & j_c\\ m'_a & m'_b & m_c \end{pmatrix}&=\delta_{m_a,m'_a}\delta_{m_b,m'_b} \end{aligned} \]
となる．
\(\ket*{(j_aj_b)j_c,m_c}\) と \(\ket*{(j_bj_a)j_c,m_c}\) は，位相分だけ状態が異なる:
\[ \ket*{(j_aj_b)j_c,m_c} =R^{ab}_c \ket*{(j_bj_a)j_c,m_c} \,. \]
ここで，
\[ R^{ab}_c= (-1)^{j_a+j_b-j_c} \]
である．これは，\(R^{ab}_cR^{ba}_c=1\) を満たす．3つの表現 \(j_a\), \(j_b\), \(j_c\) を合成し，\(j_d\) を作る問題を考える．\(j_a\) と \(j_b\) を合成し \(j_{e}\) を作り，その後，\(j_c\) を合成すると，
\[ \ket*{((j_aj_b)j_{e},j_c)j_d,m_d} = \sum_{m_{a},m_b,m_c,m_{e}} \ket*{j_a,m_a}\ket*{j_b,m_b}\ket*{j_c,m_c} \braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_{e},m_{e}} \braket{j_{e},m_{e};\, j_c,m_c}{j_d,m_d} \]
となる．一方，先に \(j_b\) と \(j_c\) を合成し，\(j_{f}\) を作り，その後，\(j_a\) を合成すると，
\[ \ket*{(j_a, (j_bj_c)j_{f})j_d,m_d} = \sum_{m_{a},m_b,m_c,m_{f}} \ket*{j_a,m_a}\ket*{j_b,m_b}\ket*{j_c,m_c} \braket{j_a,m_a;\, j_{f},m_{f}}{j_{d},m_{d}} \braket{j_{b},m_{b};\, j_c,m_c}{j_{f},m_{f}} \]
となる．
\(\ket*{((j_aj_b)j_{e},j_c)j_d,m_d}\) と\(\ket*{(j_a,(j_bj_c)j_{f})j_d,m_d}\) は，独立ではなく次のユニタリ変換（\(F\)-moves）で結びついている:
\[ \ket*{(j_aj_b)j_{e}j_c;j_d,m_d} =\sum_{j_{f}} \ket*{(j_a,(j_bj_c)j_{f})j_d,m_d} \braket{(j_a,(j_bj_c)j_{f})j_d,m_d}{((j_aj_b)j_{e},j_c)j_d,m_d} \,. \tag{2.14}\]
この係数は，\(\braket{(j_a,(j_bj_c)j_{f})j_d,m_d}{((j_aj_b)j_{e},j_c)j_d,m_d}\) は，\(m_d\) に依存しない． これは，式 (2.14) の両辺に \(J_{\pm}\) を作用させることで確かめられる．
本稿では， \[ [F^{abc}_d]_{ef}\coloneqq \braket{(j_a,(j_bj_c)j_{f})j_d,m_d}{((j_aj_b)j_{e},j_c)j_d,m_d} \]
とし \(F\)-symbolと呼ぶことにする:
\[ \ket*{((j_aj_b)j_{e},j_c)j_d,m_d} =\sum_{j_f}[F^{abc}_d]_{ef}\ket*{(j_a,(j_bj_c)j_{f})j_d,m_d} \,. \]
Clebsch–Gordan 係数を用いて \(F\)-symbol を表すと
\[ \begin{split} [F^{abc}_d]_{ef} & =\frac{1}{d_d} \sum_{m_{a},m_b,m_c,m_d,m_{e} m_{f}}\braket{j_a,m_a;\, j_b,m_b}{j_{e},m_{e}}\braket{j_{e},m_{e};\, j_{c},m_{c}}{j_{d},m_{d}}\\ &\qquad\qquad\qquad \times \braket{j_{f},m_{f}}{ j_b,m_b;\, j_{c},m_{c} }\braket{j_d,m_d}{j_a,m_a;\, j_{f},m_{f}} \end{split} \tag{2.15}\]
となる．Wigner \(6\)-\(j\) シンボルを用いると，よりコンパクトに
\[ [F^{abc}_d]_{ef}=(-1)^{j_a+j_b+j_c+j_d}\sqrt{d_{e}d_{f}} \begin{Bmatrix} j_a & j_b & j_e\\ j_c & j_d & j_f \end{Bmatrix} \tag{2.16}\]
と表せることが知られている．
\[ \begin{split} \begin{Bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{Bmatrix} \coloneqq \Delta(a,b,c)\Delta(a,e,f)\Delta(d,b,f)\Delta(d,e,c)\sum_z(-1)^z (z+1)!\\ \times \frac{((a+b+d+e-z)!(a+d+c+f-z)!(b+e+c+f-z)!)^{-1}}{(z-a-b-c)!(z-a-e-f)!(z-d-b-f)!(z-d-e-c)!} \end{split} \]
となる．ここで
\[ \Delta(a,b,c)=\delta_{abc}\sqrt{\frac{(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!}{(a+b+c+1)!}} \]
である． また，\(z\) が取りうる範囲は，
\[ \max(a+b+c,a+e+f,d+b+f,d+e+c)\leq z\leq \min(a+b+d+e,a+d+c+f,b+e+c+f) \]
である．
import sympy as sp
from sympy import sqrt, Rational
from sympy.physics.wigner import wigner_6j
from sympy import S
def f_symbol(ja, jb, jc, jd, je, jf) -> sp.Expr:
"""
f-symbol の計算:
f = (-1)^(ja+jb+jc+jd) * sqrt((2*je+1)*(2*jf+1)) * {ja jb je; jc jd jf}
入力:
ja, jb, jc, jd, je, jf : 半整数 (sp.Rational(1,2), 3/2 など)
出力:
SymPy expression (exact algebraic value)
"""
ja, jb, jc, jd, je, jf = map(S, (ja, jb, jc, jd, je, jf))
try:
res = wigner_6j(ja, jb, je, jc, jd, jf)
except ValueError:
# 三角条件/半整数条件を満たさない → 0
res = 0
res *= sqrt((2 * je + 1) * (2 * jf + 1)) * (-1) ** (ja + jb + jc + jd)
return sp.simplify(res)
# サンプル計算
#f_symbol(Rational(1,2), Rational(1,2), Rational(1,2), Rational(1,2), 1, 0)逆変換は，
\[ \ket*{(j_a,(j_bj_c)j_{f})j_d,m_d} =\sum_{j_e}[(F^{abc}_d)^{-1}]_{fe} \ket*{((j_aj_b)j_{e},j_c)j_d,m_d} \]
で，\([(F^{abc}_d)^{-1}]_{fe}=\braket{ (j_aj_b)j_{e}j_c;j_d,m_d}{j_a (j_bj_c)j_{f};j_d,m_d}\) である．これは，ユニタリである性質
\[ [(F^{abc}_d)^{-1}]_{fe}= [(F^{abc}_d)^{\dag}]_{fe} =[F^{abc}_d]^*_{ef} \]
を満たす． また，\(F\)-symbol は，以下の関係を満たす (pentagon equation):
\[ [F_e^{fcd}]_{gl} [F_e^{abl}]_{fk} = \sum_{h} [F^{abc}_g]_{fh} [F_{e}^{ahd}]_{gk} [F^{bcd}_{k}]_{hl} \,. \tag{2.17}\]
これは表現の結合順序を変える際の一貫性条件を表している．
2.7 Clebsch–Gordan 係数の演算のグラフィカルな表現
Clebsch–Gordan 係数を図を使って表現するといろいろ便利である． まず，2点頂点は，
\[= \braket{j_b, n_b}{j_a, m_a} = \delta^{j_b}_{j_a}\delta^{n_b}_{m_a}\]
と表す． 特に，\(j_a=j_b\) のときは，単にドットを取って
\[=\braket{j_a,n_a}{j_a,m_a} =\delta^{n_a}_{m_a}\]
と書くことにする．Clebsch–Gordan 係数は，
\[=\braket{ j_c,n_c}{j_a,m_a;\, j_b,m_b}\,,\]
\[= \braket{j_a,n_a;\, j_b,n_b}{j_c,m_c}\]
で表す． \(c=0\) の特別な場合は，
\[= \braket{j_a,n_a;\, j_b,n_b}{0,0}=\delta_{j_a,j_b}\delta_{n_a,-n_b}\frac{(-1)^{j_a-n_a}}{\sqrt{d_{a}}}\,,\]
\[= \braket{0,0}{j_a,m_a;\, j_b,m_b}=\delta_{j_a,j_b}\delta_{m_a,-m_b}\frac{(-1)^{j_a-m_a}}{\sqrt{d_{a}}}\]
となる． 3つの表現の合成に対応するダイアグラムは，
\[= \sum_{l_e}\braket{j_a,n_a;\, j_b,n_b}{j_e,l_e}\braket{j_e,l_e;\, j_c,n_c}{ j_d,m_d}\]
である．ここで，図の中で，内線の磁気量子数 (\(l_e\)) については和を取るものとする．
このルールを用いると，式 (2.11) の直交性は，
\[=\] 
\[=\delta_{c,c'}\] 
と表すことができる．同様に，式 (2.12) は，
\[= \sum_{c}\] 
と表すことができる．また，\(F\)-symbol は，
\[= \sum_{f}[F^{abc}_d]_{ef}\] 
と表現され，\(F\)-symbol 自身は，
\[=d_d[F^{abc}_d]_{ef}\]
と表すことができる．また，式 (2.17) のペンタゴン方程式は，
より得られる．
これらのグラフィカルルールを用いると，例えば
= \(\sum_{g} [F_d^{abc}]_{eg}\) 
= \([F_d^{abc}]_{ef}\) 
\[\text{} \tag{2.18}\]
が比較的簡単に評価できる．つまり，
\[ \begin{split} &\sum_{l_b,l_c,l_e} \braket{j_f,n_f}{j_b,l_b;\, j_c,l_c} \braket{j_a,n_a;\, j_b,l_b}{j_e,l_e} \braket{j_e,l_e;\, j_c,l_c}{j_d,m_d}\\ & = [F_{d}^{abc}]_{ef} \braket{j_a,n_a;\,j_f,n_f}{j_d,m_d} \end{split} \tag{2.19}\]
が成り立つが示せる．
本稿では，式 (2.10) を \(\mathcal{Q}_{c}\to \mathcal{Q}_{a}\otimes \mathcal{Q}_{b}\) の写像として， Clebsch-–Gordan 係数の図の矢印の向きを定めた． 逆に合成だと思って矢印の向きを逆向きに書く流儀もある． どちらの流儀も全体で無矛盾になるようになっていれば問題はない． （注:本稿の表記では，矢印の向きとカラーのフラックスの向きが逆向きになる．）