7 ゲージ不変な演算子
7.1 局所演算子
ハミルトニアンに入っている磁場項はゲージ不変な演算子である:
\[ \tr U(p)\,. \]
より一般に任意の表現 \(a\) の \(\tr U_a(p)\) もゲージ不変である．
次に電場から構成されるゲージ不変な局所演算子を考えよう． ハミルトニアンに入っている電場項は\(E^2(e)\)はゲージ不変である． さらに共役類でラベルされたゲージ不変な演算子 \[ K_{[g]}(e)=\int_{h\in[g]} dh R^{h}(e) \] も考えることができる．ここで，\([g]=\{hg\bar{h}|h\in G\}\) は，\(g\) を代表元とする共役類で，\(R^h\) は，有限変換 (4.6) の右作用の演算子である． 積分の測度は， \[\int_{h\in[g]} dh=1 \] になるように規格化されている． この演算子を表現の基底で展開してみよう． ゲージ不変であるということから，すべての \(R^h\) と可換である．これは．各表現空間で，単位元に比例していることを意味する． つまり， \[ S_{[g]}(e)=c^a P_a \tag{7.1}\] と展開される．ここで，\(P_a\) は，表現 \(a\) への射影演算子で，陽に \[ P_a \coloneqq \sum_{m_a,n_a}\ket{a,m_a,n_a}\bra{a,m_a,n_a} \] と表される． 式 (7.1) の両辺に \(P_a\) を作用させトレースを取ると，
\[ \chi_a(g) = \sum_{a}c_a d_a \] ここで，表現についての和は取らない． したがって，\(c_a = \chi_a(g)/d_a\) となるので，
\[ K_{[g]}(e)=\sum_a\frac{\chi_a(g)}{d_a} P_a \] と表すことができる．ここで，右作用の演算子 \(R^h\) を用いて定義したが，左作用の演算子 \(L^h\) を用いても同じ演算子が得られる．
逆に，\(P_a\) は，指標の直交性 \[ \int \dd{g} \chi^\dag_a(g) \chi_b(g)=\delta_{ab} \] より，
\[ P_a =d_a\int \dd{g} \chi^\dag_a(g) K_{[g]}(e) \]
と表される．指標の直交性は，式 (2.8)より得られる．