5  連続理論のハミルトニアン形式

ここでは，ゲージ理論の作用から出発して，ハミルトニアンを導出しよう． \((d+1)\) 次元 \(\mathrm{SU}(N)\) ゲージ理論の作用は， \[ S= \int d^{d+1}x\mathcal{L} \] で与えられ，\(\mathcal{L}\) はラグランジアン密度で，以下のように与えられる: \[ \mathcal{L}=-\frac{1}{2g^2}\tr F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. \] ここで，\(F_{\mu\nu}\) は場の強さで，Lie 代数(の基本表現)に値を取るゲージ場 \(A_\mu\) を用いて， \[ F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\mu-\partial_\nu A_\mu-\ri[A_\mu,A_\nu] \] で与えられる． 上付きの \(F^{\mu\nu}\) は，計量 \(\eta_{\mu\nu}=\mathop{\mathrm{diag}}(-1,1,\cdots, 1)\) と \(\eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}=\delta_\mu^\rho\) となる \(\eta^{\nu\rho}\) を用いて， \(F^{\mu\nu} = \eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} F_{\rho\sigma}\) で与えられる．

ゲージ場は，Lie 代数の生成子 \(T_a\) を用いて，\(A_\mu = T_a A^a_{\mu}\) と展開される． 同様に，\(F_{\mu\nu}= T_a F^{a}_{\mu\nu}\) と分解すると， \[ F^a_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a +f^a_{~bc} A^b_\mu A^c_\nu \] と表される．\(\tr T_a T_b= g_{ab}/2\) を用いて添字の上げ下げをすることにする． 適切に基底を選ぶと，\(g_{ab}=\delta_{ab}\) に取ることができる．

ゲージ変換は，ゲージ変換関数 \(U(x)=\exp(\ri T_a\theta^a(x))\) を用いて， \[ A_\mu(x)\to U^\dag(x)A_\mu(x) U(x) + U^\dag(x)\ri\partial_\mu U(x) \] で与えられる．作用はこの変換のもとで不変である．

正準運動量は， \[ \Pi_a^\mu \coloneqq \frac{\mathcal{L}}{\partial \partial_0 A^a_\mu} = -\frac{1}{g^2}F_a^{0\mu} %= -\frac{1}{g^2}(\partial^0 A_a^{\mu} -\partial^\mu A_a^{0} +f_{abc}A^{b0}A^{c\mu}) \] で定義され，正準交換関係は，形式的に \[ [A_\mu^a(\bm{x}),\Pi_b^\nu(\bm{y})] = \ri \delta^a_b \delta^\nu_\mu\delta(\bm{x}-\bm{y}) \] で与えられる． \(\Pi_a^0=F_a^{00}/g^2=0\) になる点に注意しよう． これは，\(A^a_0\) の正準運動量が存在しないことを意味し，\(A^a_0\) を含む項は，拘束条件を与える． ハミルトニアンは， \[ H = \int d^dx\qty( \Pi_a^\mu \partial_0 A^a_\mu - \mathcal{L} )= \int d^dx\qty( \frac{g^2}{2}\Pi_i^a\Pi^i_a+ \frac{g^{ab}}{4g^2} F^a_{ij}F_a^{ij} + (D_i A_0)^a\Pi_a^i ) \] で与えられる．ここで，\((D_i A_0)^a=\partial_i A_0^{a} +f^a_{~bc}A_i^{b}A_0^{c}\) として， \(\partial_0 A^a_{i}=g^2\Pi^a_i + (D_i A_0)^a\) を用いた． \((D_iA_0)^a\) の項を部分積分すると， \[ H= \int d^dx\qty( \frac{g^2}{2}\Pi_i^a\Pi^i_a+ \frac{g^{ab}}{4g^2} F^a_{ij}F_a^{ij} - A_0^a(D_i\Pi^i)_a ) \] が得られる．

また，磁場 \(\bm{B}^a= (F^a_{23},F^a_{31},F^a_{12})/g\) 及び， 電場 \(\bm{E}_a=-g\bm{\Pi}_a\) を定義すると，

\[ H = \int d^dx\qty( \frac{1}{2}\bm{E}_a^2+ \frac{1}{2}\bm{B}_a^2 +gA_0^a (\bm{D}\cdot\bm{E})_a ) \]

が得られる． \(A_0^a\) は Lagrange の未定定数に対応し，\(G_a = (\bm{D}\cdot\bm{\Pi})_a=-g(\bm{D}\cdot\bm{E})_a=0\) が Gauss の拘束条件となる． これは，物理的状態 \(\ket{\Psi}\) は， \[ G_a \ket{\Psi} = 0 \] を満たすことを意味する．